Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c01

A probabilidade de a segunda peça cair na zona de combate da primeira é dada pela razão entre o número de casas na zona de combate e o total de casas do tabuleiro. Em um tabuleiro $n\times n$, a primeira peça ocupa uma casa. A zona de combate inclui todas as casas da mesma linha ($n$ casas) e da mesma coluna ($n$ casas), mas a casa da peça é contada duas vezes, então o total de casas na zona é $2n-1$. O total de casas do tabuleiro é $n^2$. A probabilidade é $\frac{2n-1}{n^2}$. Queremos que essa probabilidade seja inferior a $\frac{1}{5}$, ou seja, $\frac{2n-1}{n^2}<\frac{1}{5}$. Multiplicando ambos os lados por $5n^2$ (positivo), obtemos $5(2n-1)<n^2$, ou seja, $10n-5<n^2$, ou $n^2-10n+5>0$. Resolvendo a equação $n^2-10n+5=0$, as raízes são $n=\frac{10\pm \sqrt{100-20}}{2}=\frac{10\pm \sqrt{80}}{2}=\frac{10\pm 4\sqrt{5}}{2}=5\pm 2\sqrt{5}$. Como $\sqrt{5}\approx 2,236$, temos $5-2\cdot 2,236\approx 5-4,472=0,528$ e $5+2\cdot 2,236\approx 5+4,472=9,472$. A desigualdade $n^2-10n+5>0$ vale para $n<0,528$ ou $n>9,472$. Como $n\ge 2$, a condição é $n>9,472$. O menor inteiro $n$ que satisfaz é $n=10$. Portanto, a dimensão mínima é $10\times 10$. As alternativas com dimensões menores ($4\times 4$, $6\times 6$, $9\times 9$) resultam em probabilidade maior ou igual a $\frac{1}{5}$. A alternativa $11\times 11$ também satisfaz, mas não é a mínima.