Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c01

A questão descreve uma situação em que a distância de um bombeiro ao foco $A$ é sempre o dobro da distância ao foco $B$. Isso define uma relação geométrica: se chamarmos de $d$ a distância ao foco $B$, a distância ao foco $A$ é $2d$. Os focos $A$ e $B$ estão fixos a $30\text{ m}$ um do outro. Queremos a maior distância possível entre dois bombeiros que satisfazem essa condição.

Interpretando o problema, cada bombeiro está em um ponto $P$ tal que $PA=2\cdot PB$. O conjunto de todos os pontos que satisfazem essa relação é uma circunferência (círculo de Apolônio). A distância máxima entre dois pontos desse círculo é o diâmetro. Para encontrar o diâmetro, precisamos determinar o centro e o raio.

Considere um sistema de coordenadas: coloque $A$ em $(0,0)$ e $B$ em $(30,0)$. Seja $P=(x,y)$. Então $PA=\sqrt{x^2+y^2}$ e $PB=\sqrt{(x-30{)}^2+y^2}$. A condição $PA=2\cdot PB$ dá $\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{(x-30{)}^2+y^2}$. Elevando ao quadrado: $x^2+y^2=4[(x-30{)}^2+y^2]=4(x^2-60x+900+y^2)=4x^2-240x+3600+4y^2$. Rearranjando: $0=3x^2-240x+3600+3y^2\to$ dividindo por $3$: $x^2-80x+1200+y^2=0\to (x^2-80x+1600)+y^2=400\to (x-40{)}^2+y^2=20^2$. Portanto, o círculo tem centro em $(40,0)$ e raio $20$. A distância máxima entre dois pontos desse círculo é o diâmetro: $2\cdot 20=40\text{ m}$.

A alternativa que indica $40\text{ m}$ está correta. As demais alternativas ($30$, $45$, $60$, $68$) não correspondem ao diâmetro calculado. A alternativa $30\text{ m}$ é a distância entre os focos, mas não é a maior distância entre bombeiros. A alternativa $45\text{ m}$ é maior que o diâmetro, impossível. A alternativa $60\text{ m}$ seria o dobro da distância entre os focos, mas não é o diâmetro. A alternativa $68\text{ m}$ é um valor arbitrário. Portanto, a resposta correta é $40\text{ m}$.