Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c02

A bandeja deve acomodar quatro taças em fileira, com as bases (círculos de raio $4\text{ cm}$) totalmente apoiadas. Como as taças são dispostas lado a lado, a largura da bandeja deve ser igual ao diâmetro da base: $2\times 4=8\text{ cm}$. O comprimento deve acomodar as quatro bases e também as bordas superiores (raios $5\text{ cm}$) que se projetam além das bases. Para que as taças não se toquem, a distância entre os centros das bases deve ser igual ao diâmetro da borda superior: $2\times 5=10\text{ cm}$. Assim, o comprimento total é: $10\text{ cm}$ (distância do centro da primeira à segunda) $+10\text{ cm}$ (da segunda à terceira) $+10\text{ cm}$ (da terceira à quarta) $+5\text{ cm}$ (metade da borda da primeira) $+5\text{ cm}$ (metade da borda da quarta) $=30+10=40\text{ cm}$? Na verdade, o comprimento mínimo é: da borda esquerda da primeira taça até a borda direita da quarta. Considerando que as bordas superiores têm raio $5\text{ cm}$, a distância entre os centros das bases adjacentes deve ser $10\text{ cm}$ para que as bordas não se sobreponham. Então, o comprimento total é: $5\text{ cm}$ (borda esquerda da primeira) $+10\text{ cm}$ (centro da primeira ao centro da segunda) $+10\text{ cm}$ (centro da segunda ao centro da terceira) $+10\text{ cm}$ (centro da terceira ao centro da quarta) $+5\text{ cm}$ (borda direita da quarta) $=5+30+5=40\text{ cm}$. Portanto, a área mínima da bandeja é $8\text{ cm}\times 40\text{ cm}=320{\text{ cm}}^2$. No entanto, o gabarito é 304, o que indica que a interpretação correta é que as bases (raios $4\text{ cm}$) devem estar totalmente apoiadas, mas as bordas superiores podem ultrapassar a bandeja? Ou a disposição é tal que as taças são colocadas com as bases encostadas umas nas outras? Vamos reconsiderar: se as bases são círculos de raio $4\text{ cm}$, o diâmetro é $8\text{ cm}$. Se as quatro bases forem colocadas lado a lado sem espaçamento, o comprimento ocupado pelas bases é $4\times 8=32\text{ cm}$. Mas as bordas superiores têm raio $5\text{ cm}$, então elas se projetam $1\text{ cm}$ além das bases em cada lado. Para que as bordas não colidam, é necessário um espaçamento entre as bases? Na verdade, se as bases estão encostadas, as bordas superiores se sobrepõem? Não, porque as bordas são maiores, então se as bases estão encostadas, as bordas se tocam? Vamos calcular: a distância entre os centros das bases adjacentes é $8\text{ cm}$ (se encostadas). A soma dos raios das bordas é $5+5=10\text{ cm}$, então as bordas se sobreporiam em $2\text{ cm}$. Para evitar sobreposição, a distância entre centros deve ser pelo menos $10\text{ cm}$. Portanto, as bases não podem estar encostadas; deve haver um espaçamento de $2\text{ cm}$ entre elas. Assim, o comprimento total é: $4\text{ cm}$ (metade da base da primeira) $+10\text{ cm}$ (centro ao centro) $+10\text{ cm}$ $+10\text{ cm}$ $+4\text{ cm}$ (metade da base da quarta) $=4+30+4=38\text{ cm}$. A largura continua sendo $8\text{ cm}$. Área = $8\times 38=304{\text{ cm}}^2$. Portanto, a resposta correta é 304. As demais alternativas: 192 (muito pequena, não comporta nem as bases), 300 (próxima mas incorreta), 320 (corresponderia a considerar bordas ultrapassando a bandeja ou espaçamento maior), 400 (excesso de área).