Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c02
Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura. No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
C(6,4)
C(9,3)
C(10,4)
64
46
Official Explanation / Community Explanations
A questão trata de combinações com repetição, pois temos 10 carrinhos idênticos (exceto pela cor) que devem ser pintados com 4 cores, sendo que cada cor deve aparecer pelo menos uma vez. Como a ordem dos carrinhos não importa, o número de soluções inteiras não negativas para x1+x2+x3+x4=10, com xi≥1, é equivalente a y1+y2+y3+y4=6, onde yi=xi−1≥0. O número de soluções é C(6+4−1,4−1)=C(9,3). Portanto, a resposta correta é C(9,3). As demais alternativas estão incorretas: C(6,4) seria para distribuir 6 objetos em 4 grupos sem repetição; C(10,4) seria escolher 4 carrinhos entre 10; 64 seria se cada cor pudesse ter de 0 a 6 carrinhos, mas sem a restrição de pelo menos um; 46 seria se cada um dos 6 carrinhos restantes pudesse escolher uma cor, mas desconsidera a identidade dos carrinhos.