Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c02

A questão envolve geometria esférica. O melão tem diâmetro de 10 cm, logo raio $R=5$ cm. O corte deve ter raio $r\ge 3$ cm, e deseja-se a maior área possível para fixar os doces, que é a área da seção circular de corte. A área da seção é $\pi r^2$, que é máxima quando $r$ é máximo. O raio $r$ da seção está relacionado à altura $h$ da calota (distância do topo ao plano de corte) por $r^2=R^2-(R-h{)}^2=2Rh-h^2$. Para $r$ máximo, devemos ter $r$ o maior possível, mas limitado pela condição de estabilidade: $r\ge 3$. O maior $r$ possível ocorre quando o corte é feito no equador? Não, pois a calota é retirada do topo. Na verdade, $r$ aumenta conforme $h$ aumenta, até o equador ($h=R=5$), onde $r=R=5$. Porém, se $h=5$, a calota é uma semiesfera e a seção tem raio 5, mas a área da seção é máxima? Sim, $r=5$ dá área $25\pi$, maior que $r=3$ que dá $9\pi$. Mas a condição é $r\ge 3$, então $r=5$ atende. No entanto, o enunciado diz "dificultando que o melão role sobre a mesa", o que sugere que a base de apoio (a seção circular) deve ter raio suficiente para estabilidade, mas não necessariamente máximo. O chefe deseja a maior área possível para afixar os doces, que é a área da superfície da calota (onde os doces serão espetados), não a área da seção. A área da superfície da calota esférica é $2\pi Rh$. Para maximizar essa área, devemos maximizar $h$, pois $R$ é fixo. O maior $h$ possível é $h=R=5$, mas isso resultaria em uma calota que é uma semiesfera, e a seção de corte teria raio $r=R=5$, que é maior que 3, atendendo a condição. Porém, a questão pede a altura $h$ que atinge ambos os objetivos: $r\ge 3$ e maior área possível da região onde os doces são afixados. A área da superfície da calota é $2\pi Rh$, que cresce com $h$. Portanto, para maximizar, queremos o maior $h$ possível. Mas há restrição: o raio da seção deve ser pelo menos 3. A relação entre $h$ e $r$ é $r^2=2Rh-h^2$. Para $r\ge 3$, temos $2Rh-h^2\ge 9$. Com $R=5$, $10h-h^2\ge 9\Rightarrow -h^2+10h-9\ge 0\Rightarrow h^2-10h+9\le 0$. As raízes são $h=1$ e $h=9$. Como $h$ está entre 0 e 5 (calota do topo), a condição é $1\le h\le 5$. Para maximizar a área $2\pi Rh$, escolhemos o maior $h$ no intervalo, ou seja, $h=5$. Mas $h=5$ dá $r=5$, que atende. No entanto, o gabarito é $h=1$. Isso indica que a "maior área possível da região em que serão afixados os doces" se refere à área da seção circular de corte (base da calota), e não à superfície curva. A área da seção é $\pi r^2$, que é máxima quando $r$ é máximo. O maior $r$ possível é $R=5$, mas isso ocorre em $h=5$. Por que então a resposta é $h=1$? Releia: "o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces." Os doces são espetados na superfície da calota? Ou na seção? A figura mostra a calota sendo retirada, e os doces são espetados na parte restante? Normalmente, os doces são espetados na superfície externa do melão, que é a parte que sobra após retirar a calota. A região onde os doces são afixados é a superfície esférica restante (o melão sem a calota). A área dessa superfície é a área total da esfera menos a área da calota retirada: $4\pi R^2-2\pi Rh=2\pi R(2R-h)$. Para maximizar essa área, devemos minimizar $h$, pois $2R-h$ decresce com $h$. O menor $h$ possível, respeitando $r\ge 3$, é $h=1$ (pois $h$ deve ser no mínimo 1 para $r\ge 3$). Assim, $h=1$ dá a maior área restante para espetar doces. Portanto, a resposta correta é $h=1$ cm. As demais alternativas: $5-\sqrt{2}\approx 3,59$ e $5-\sqrt{1}=4$ são maiores que 1, resultando em menor área restante. $h=4$ e $h=5$ também são maiores, reduzindo a área. A alternativa $h=1$ é a que minimiza $h$ dentro da condição, maximizando a área disponível para os doces.