Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c02

A probabilidade de observar exatamente um sinal verde em 10 semáforos independentes, com probabilidade de verde $p=\frac{2}{3}$ e de vermelho $q=\frac{1}{3}$, é dada pela distribuição binomial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)p^1{q}^9=10\cdot \frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^9=10\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3^9}=10\cdot \frac{2}{3^{10}}$. Simplificando, $10\cdot \frac{2}{3^{10}}=10\cdot \frac{2^1}{3^{10}}$, mas note que $2^9$ aparece na opção correta porque $\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^9=\frac{2}{3^{10}}=\frac{2^1}{3^{10}}$, e a opção B é $10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}$, que está incorreta? Vamos recalcular: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)p^1{q}^9=10\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^1\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^9=10\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3^9}=10\cdot \frac{2}{3^{10}}$. Isso é igual a $10\cdot \frac{2}{3^{10}}$, que não é $10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}$. A opção B é $10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}$, que seria o resultado se a probabilidade de verde fosse $\frac{2}{3}$ e a de vermelho $\frac{1}{3}$, mas com 9 verdes e 1 vermelho? Na verdade, a probabilidade de exatamente um verde é $10\cdot \frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^9=10\cdot \frac{2}{3^{10}}$. A opção B tem $2^9$ no numerador, o que corresponde a ${\left(\frac{2}{3}\right)}^9$, que seria a probabilidade de 9 verdes. Portanto, a opção B está errada? O gabarito diz B, mas vamos verificar: a opção B é $10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}=10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}$. Isso é igual a $10\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^9\cdot \frac{1}{3}$, que é a probabilidade de exatamente 9 verdes (ou 1 vermelho). O enunciado pede exatamente um sinal verde, então a resposta correta seria $10\cdot \frac{2}{3^{10}}$, que é a opção A? A opção A é $10\cdot \frac{2}{3^{10}}$, que é exatamente isso. Mas o gabarito fornecido é B. Provavelmente houve um erro no texto da questão: a opção A está escrita como $10\cdot 2/3^{10}$, que é ambíguo, mas interpretado como $10\cdot \frac{2}{3^{10}}$. A opção B é $10\cdot 2^9/3^{10}$, que é $10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}$. A resposta correta para exatamente um verde é $10\cdot \frac{2}{3^{10}}$, que corresponde à opção A. No entanto, o gabarito informado é B. Vamos considerar que o gabarito pode estar correto e a interpretação é outra: talvez a probabilidade de verde seja $\frac{2}{3}$ e a de vermelho $\frac{1}{3}$, e a pessoa observa exatamente um sinal verde, ou seja, um verde e nove vermelhos. A probabilidade é $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^9=10\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3^9}=10\cdot \frac{2}{3^{10}}$. Isso é $10\cdot \frac{2}{3^{10}}$, que é a opção A. A opção B seria $10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}$, que é a probabilidade de exatamente 9 verdes. Portanto, a resposta correta é A, não B. Mas como o gabarito fornecido é B, talvez haja um erro no texto da questão ou na interpretação. Para fins de resposta, seguiremos o gabarito informado, mas a explicação deve refletir o raciocínio correto. Explicação: A probabilidade de exatamente um sinal verde em 10 tentativas independentes é dada pela distribuição binomial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^1\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^9=10\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3^9}=10\cdot \frac{2}{3^{10}}$. A opção que apresenta $10\cdot \frac{2^9}{3^{10}}$ está incorreta, pois representa a probabilidade de 9 verdes. A opção correta seria $10\cdot \frac{2}{3^{10}}$, que corresponde à alternativa A. No entanto, o gabarito indicado é B, o que sugere que pode haver um erro no enunciado ou nas alternativas. Recomenda-se verificar a fonte original.