Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c03

João visita andares que são números ímpares (1, 3, 5, ...), ou seja, andares da forma $2k+1$ com $k\ge 0$. Pedro visita andares que são congruentes a 1 módulo 3 (1, 4, 7, ...), ou seja, andares da forma $3m+1$ com $m\ge 0$. O último andar é comum a ambos, então o número total de andares $N$ é ímpar e $N\equiv 1(\mathrm{mod}3)$. Os andares onde ambos trabalham são aqueles que satisfazem ambas as condições: $n\equiv 1(\mathrm{mod}2)$ e $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, ou seja, $n\equiv 1(\mathrm{mod}6)$ (pois o mínimo múltiplo comum de 2 e 3 é 6). Assim, os andares comuns são $1,7,13,\dots$, formando uma progressão aritmética de primeiro termo 1 e razão 6. O número de andares comuns é exatamente 20. O $20^{\circ }$ termo dessa PA é $1+19\cdot 6=115$. Como o último andar é comum, $N=115$. Verificando: 115 é ímpar e $115\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ (pois $115=3\cdot 38+1$). As alternativas que indicam 40, 60, 100 e 120 não satisfazem simultaneamente as condições de serem ímpares e congruentes a 1 módulo 3, ou não resultam em exatamente 20 andares comuns. Por exemplo, 40 é par, 60 é par, 100 é par, 120 é par; apenas 115 é ímpar e congruente a 1 módulo 3. Além disso, o número de andares comuns até 115 é $\lfloor (115-1)/6\rfloor +1=20$, confirmando a resposta.