Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c0e

A projeção ortogonal de $P$ sobre o eixo $x$ é o ponto $Q$, cuja coordenada $x$ é $r\cos \theta$, onde $\theta$ é o ângulo central percorrido. Como o arco percorrido é $d=r\theta$, temos $\theta =d/r$. Inicialmente, $P$ está em $(r,0)$ (ângulo $0$) e $Q$ em $(r,0)$. Após percorrer o arco $d$, $P$ está em $(r\cos (d/r),r\text{sen}(d/r))$ e $Q$ em $(r\cos (d/r),0)$. A distância percorrida por $Q$ é a diferença entre a posição inicial e final: $r-r\cos (d/r)=r(1-\cos (d/r))$. Portanto, a alternativa correta é $r(1-\cos \frac{d}{r})$.

A alternativa que apresenta $r(1-\text{sen}\frac{d}{r})$ estaria correta se a projeção fosse sobre o eixo $y$, mas aqui é sobre o eixo $x$. A alternativa com $r(1-\mathrm{tg}\frac{d}{r})$ não corresponde à projeção, pois a tangente não está diretamente relacionada à coordenada $x$. As alternativas com $\text{sen}(r/d)$ e $\cos (r/d)$ invertem a razão $d/r$, o que não faz sentido dimensionalmente e geometricamente.