Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c11

Para produzir um cordel com 32 páginas, são necessárias 16 folhas (já que cada folha dá origem a 2 páginas, uma em cada lado). Cada folha tem dimensões $10,5\text{ cm}\times 15,5\text{ cm}$. No processo descrito, uma folha maior é dobrada para formar várias folhas menores. Para 8 páginas (4 folhas), a folha original tem $42\text{ cm}\times 31\text{ cm}$ (dobrada ao meio duas vezes). Observe que $42\text{ cm}=4\times 10,5\text{ cm}$ e $31\text{ cm}=2\times 15,5\text{ cm}$. Para 32 páginas (16 folhas), precisamos de uma folha que, após dobrada, produza 16 folhas menores. Isso pode ser feito dobrando a folha maior 4 vezes ($2^4=16$). As dimensões da folha maior devem ser tais que, após as dobras, resultem em retângulos de $10,5\text{ cm}\times 15,5\text{ cm}$. Uma forma é ter 4 dobras em uma direção e 4 na outra? Na verdade, para obter 16 folhas, a folha original deve ter dimensões que, quando dobradas ao meio 4 vezes (2 dobras em cada direção), resultem em 16 retângulos. Como cada dobra reduz a dimensão pela metade, se a folha original tem largura $L$ e altura $A$, após 2 dobras na largura (dividindo por 4) e 2 dobras na altura (dividindo por 4), obtemos 16 retângulos de dimensões $\frac{L}{4}$ por $\frac{A}{4}$. Esses retângulos devem ser $10,5\text{ cm}\times 15,5\text{ cm}$. Portanto, $\frac{L}{4}=10,5\text{ cm}\Rightarrow L=42\text{ cm}$, e $\frac{A}{4}=15,5\text{ cm}\Rightarrow A=62\text{ cm}$. Assim, a folha original deve ter $42\text{ cm}\times 62\text{ cm}$. As outras alternativas: $84\text{ cm}\times 62\text{ cm}$ (daria folhas de $21\text{ cm}\times 15,5\text{ cm}$, não $10,5\text{ cm}$), $84\text{ cm}\times 124\text{ cm}$ (daria $21\text{ cm}\times 31\text{ cm}$), $42\text{ cm}\times 31\text{ cm}$ (daria $10,5\text{ cm}\times 7,75\text{ cm}$), $21\text{ cm}\times 31\text{ cm}$ (daria $5,25\text{ cm}\times 7,75\text{ cm}$). Portanto, a correta é $42\text{ cm}\times 62\text{ cm}$.