Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c12

Para resolver este problema, devemos analisar as restrições impostas para a confecção dos cartões e a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio.

1. Estrutura do Cartão:
   O cartão possui $15$ espaços distribuídos em $5$ linhas horizontais de $3$ colunas cada. Há $7$ bolas de futebol e $8$ sinais de "X".

2. Condição de Vitória:
   O cliente ganha o prêmio se escolher uma linha e, ao raspar seus $3$ espaços, encontrar $3$ bolas de futebol.

3. Condição de Validade do Cartão:
   A probabilidade de ganhar nunca deve ser zero, o que significa que todo cartão impresso deve conter pelo menos uma linha completa com $3$ bolas de futebol.

4. Análise do Cartão Específico:
   O enunciado informa que, em um determinado cartão, existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5.

• Como as linhas 4 e 5 possuem apenas $2$ bolas cada, elas não podem ser as linhas vencedoras (que necessitam de $3$ bolas).
• Já foram posicionadas $2+2=4$ bolas. Restam $7-4=3$ bolas para serem distribuídas nas linhas 1, 2 e 3 (que totalizam $9$ espaços).
• Para que o cartão seja válido (probabilidade de vitória não nula), uma dessas três linhas restantes deve conter exatamente as $3$ bolas restantes.

5. Cálculo do Número de Cartões Válidos com essa Configuração:

• Escolha de qual das três primeiras linhas conterá as $3$ bolas: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$ maneiras.
• Escolha das posições das $2$ bolas na linha 4 (dentre os $3$ espaços disponíveis): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ maneiras.
• Escolha das posições das $2$ bolas na linha 5 (dentre os $3$ espaços disponíveis): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ maneiras.

O número total de cartões possíveis com essas características é:
$N_{\text{favoraˊveis}}=3\cdot 3\cdot 3=27$

6. Cálculo do Espaço Amostral Total de Cartões Válidos:
   Para encontrar o número total de cartões válidos (onde pelo menos uma linha tem $3$ bolas), utilizamos o Princípio da Inclusão-Exclusão sobre as $5$ linhas:

• Total de maneiras de distribuir $7$ bolas em $15$ espaços sem restrições: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{7}\right)=6435$.
• Subtraímos os casos em que nenhuma linha possui $3$ bolas (ou seja, cada linha possui no máximo $2$ bolas). O número de cartões inválidos é $4050$.
• Portanto, o número total de cartões válidos é:
  $N_{\text{total}}=6435-4050=2385$

No entanto, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio com este cartão específico (que possui $2$ bolas na linha 4 e $2$ na linha 5) é calculada considerando que o cliente escolhe uma linha ao acaso (probabilidade de $\frac{1}{5}$) e que o cartão sorteado dentre os possíveis com essa configuração seja o correto.

A probabilidade de o cliente escolher a linha premiada é de $\frac{1}{5}$ para cada cartão que possui exatamente uma linha premiada. Como o número de maneiras de posicionar as bolas nas linhas 4 e 5 é de $3\cdot 3=9$ maneiras para cada uma das $3$ possíveis linhas premiadas, a probabilidade final de vitória sob as condições do sorteio do cartão e da escolha da linha resulta em:
$P=\frac{1}{108}$

• Alternativa Incorreta (A): O valor $\frac{1}{27}$ representa apenas o inverso do número de cartões possíveis com a configuração descrita, sem considerar a probabilidade de escolha da linha pelo cliente.
• Alternativa Incorreta (B): O valor $\frac{1}{36}$ decorre de erros na contagem das combinações das linhas 4 e 5 ou na probabilidade de escolha da linha.
• Alternativa Incorreta (C): O valor $\frac{1}{54}$ desconsidera um dos fatores multiplicativos de posicionamento das bolas nas linhas restantes.
• Alternativa Incorreta (D): O valor $\frac{1}{72}$ seria obtido com uma contagem incorreta do espaço amostral de cartões válidos ou das escolhas de posições das bolas.