Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c12
Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades mas não com o índice proposto.
Pode-se afirmar que
o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades não é suficiente para cobrir os gastos adicionais.
o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõe cobrirá exatamente os gastos adicionais.
a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais.
a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas.
o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de...
Official Explanation / Community Explanations
A alternativa que aponta que a associação está correta em não concordar com o índice proposto, pois a arrecadação adicional superaria em muito os gastos adicionais, está correta.
Para demonstrar isso matematicamente, seja R a arrecadação total das mensalidades do colégio. O gasto com o pagamento dos salários dos professores corresponde a 40% de R, ou seja, 0,40⋅R. O reajuste proposto para os professores é de 5% sobre a folha de pagamento, o que representa um gasto adicional de:
ΔS=0,05⋅(0,40⋅R)=0,02⋅R
Isso equivale a 2% da arrecadação total.
Por outro lado, o diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos. Isso geraria uma arrecadação adicional de:
ΔR=0,05⋅R
Isso equivale a 5% da arrecadação total.
Como o aumento na arrecadação (5%) é maior do que o aumento nos gastos (2%), a arrecadação adicional superaria os gastos adicionais necessários. A informação sobre os alunos carentes não altera essa proporção, pois o aumento de 5% é aplicado sobre a mensalidade já reduzida de cada um deles, mantendo a proporcionalidade do aumento total em 5%.
Análise das alternativas incorretas:
- A alternativa que indica que o cálculo do diretor foi incorreto por ser insuficiente está errada, pois, como demonstrado, o reajuste de 5% nas mensalidades é mais do que suficiente para cobrir o aumento de 2% nos custos totais.
- A alternativa que afirma que o diretor fez os cálculos corretamente e que o reajuste cobrirá exatamente os gastos está incorreta, pois o reajuste proposto gerará um excedente de receita de 3% em relação ao valor necessário.
- A alternativa que sugere que a associação não levou em conta o fato de os alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas está incorreta, pois a redução já está embutida na arrecadação total R, e o aumento linear de 5% sobre todas as mensalidades resulta exatamente em um acréscimo de 5% na receita total, independentemente da distribuição dos valores individuais.
- A alternativa incompleta que sugere a necessidade de um reajuste maior também está incorreta, dado que o reajuste proposto já é superior ao necessário.