Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão analisa as propriedades métricas e relações de proporcionalidade em sólidos geométricos, especificamente em cilindros circulares retos. O volume de um cilindro circular reto é dado pelo produto da área da base pela sua altura:
$V_{\text{cilindro}}=A_{\text{base}}\cdot h=\pi r^{2}h$

Nessa configuração geométrica, mantendo-se constante a altura $h$, o volume é diretamente proporcional ao quadrado do raio da base ($V\propto r^2$). Assim, variações lineares nas dimensões da seção transversal (raio da base) geram variações quadráticas na capacidade volumétrica do sólido.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Para determinar a razão entre os raios $\frac{R}{r}$ que conduz ao gabarito oficial, estabelece-se a relação entre os volumes sob a conservação da altura $h$ de ambos os recipientes:

1. Volume do primeiro recipiente ($V_1$):
   Com raio da base $r$ e altura $h$, sua capacidade equivale a $\frac{4}{9}$ do volume total $V$:
   $V_1=\pi r^{2}h=\frac{4}{9}V$

2. Volume do segundo recipiente ($V_2$):
   Com raio da base $R$ e altura $h$, sua capacidade comporta exatamente o volume total $V$:
   $V_2=\pi R^{2}h=V$

3. Razão entre as capacidades:
   Dividindo o volume do segundo recipiente pelo do primeiro:
   $\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R^{2}h}{\pi r^{2}h}=\frac{V}{\frac{4}{9}V}$
   ${\left(\frac{R}{r}\right)}^2=\frac{9}{4}$

4. Determinação da razão entre os raios:
   Como os raios $R$ e $r$ são grandezas estritamente positivas:
   $\frac{R}{r}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$

Logo, a razão $\frac{R}{r}$ é igual a $\frac{3}{2}$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $\frac{4}{9}$: Incorreta. Representa diretamente a fração do volume total $V$ que o primeiro recipiente comporta ($\frac{V_1}{V}=\frac{4}{9}$), confundindo a razão volumétrica com a razão linear entre os raios.
• $\frac{5}{9}$: Incorreta. Equivale à fração complementar do volume necessária para preencher o recipiente ($1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$), não apresentando relação geométrica com as dimensões lineares dos cilindros.
• $\frac{5}{4}$: Incorreta. Corresponde à razão entre a fração restante do volume e a fração comportada ($\frac{5/9}{4/9}=\frac{5}{4}$), tratando-se de uma manipulação aritmética equivocada entre partes de grandezas volumétricas.
• $\frac{9}{4}$: Incorreta. Corresponde à razão entre os volumes dos dois recipientes ($\frac{V_2}{V_1}=\frac{9}{4}$) ou ao quadrado da razão entre os raios (${\left(\frac{R}{r}\right)}^2$), esquecendo-se da etapa fundamental de extrair a raiz quadrada para encontrar a razão linear $\frac{R}{r}$.