Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

Um polígono é classificado como regular se, e somente se, é simultaneamente:

1. Equilátero: todos os seus lados têm a mesma medida;
2. Equiângulo: todos os seus ângulos internos têm a mesma medida.

Na figura, temos um mosaico desenhado sobre uma malha quadriculada de $6\times 6$ unidades com várias regiões delimitadas por linhas contínuas pretas:

• Um quadrilátero central amarelo (quadrado);
• Quatro triângulos lilases em torno do quadrado central;
• Quatro hexágonos verdes na região periférica;
• O contorno que delimita a junção do quadrado central com os quatro triângulos;
• O contorno externo de todo o mosaico (um octógono).

2. Justificativa da Alternativa Correta

Analisando todas as figuras planas contornadas por linhas contínuas no desenho:

1. Quadrado central amarelo: O enunciado explicita que se trata de um quadrado. Possui 4 lados de mesma medida e 4 ângulos retos ($90^{\circ }$), sendo o primeiro polígono regular.
2. Quadrado inclinado (união do centro amarelo com os 4 triângulos lilases): Os quatro lados que separam a região lilás da região verde formam um quadrilátero com vértices exatamente sobre os nós da malha: $(3,4)$, $(4,3)$, $(3,2)$ e $(2,3)$ (adotando uma escala em que a malha mede $6\times 6$). Cada lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $1$ e $1$, medindo $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Suas diagonais medem $2$, interceptam-se nos pontos médios e são perpendiculares, o que garante que seus quatro ângulos internos medem $90^{\circ }$. Portanto, é um quadrado (inclinado a $45^{\circ }$), constituindo o segundo polígono regular.
3. Triângulos lilases: Cada um é um triângulo isósceles não equilátero (dois lados iguais a partir do vértice externo e a base coincidente com o lado do quadrado central), não sendo regulares.
4. Hexágonos verdes: Cada um possui 6 lados, sendo 4 lados paralelos à malha (de comprimento $1$) e 2 lados inclinados (de comprimento $\sqrt{2}$). Por não terem lados congruentes nem ângulos iguais a $120^{\circ }$, são hexágonos irregulares.
5. Contorno exterior do mosaico: É um octógono formado por 4 lados retos de comprimento $2$ e 4 cantos diagonais de comprimento $\sqrt{2}$. Como seus lados não têm a mesma medida (e seus ângulos internos variam entre $90^{\circ }$ e $135^{\circ }$), trata-se de um octógono irregular.

Assim, identificam-se exatamente 2 polígonos regulares (os dois quadrados).

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• 3: Incorreta. Supõe erroneamente que o octógono externo ou outra combinação de polígonos seja regular, desconsiderando a diferença entre as medidas dos lados retos ($2$) e diagonais ($\sqrt{2}$).
• 4: Incorreta. Ocorre ao confundir os 4 triângulos lilases com triângulos equiláteros ou associar a resposta à simetria rotacional de ordem 4 do mosaico.
• 6: Incorreta. Considera equivocadamente que os quatro hexágonos periféricos seriam regulares ou comete erro de contagem cumulativa.
• 7: Incorreta. Resulta da soma indiscriminada de peças geométricas do mosaico sem verificar as propriedades de congruência de lados e ângulos exigidas para a regularidade.