Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão trata de um problema de Análise Combinatória aplicado à coloração de regiões de um escudo com restrições de vizinhança (adjacência de fronteira). Conforme a Figura 1, o escudo é dividido em 4 regiões geométricas distintas (uma face superior horizontal triangular, uma face vertical direita quadrangular e a face vertical esquerda subdividida diagonalmente em duas regiões triangulares).

A Figura 2 exemplifica o preenchimento dessas regiões usando até 3 cores distintas, respeitando a regra estrita de que regiões que compartilham um lado em comum não podem ter a mesma cor. Cada uma das 16 equipes das olimpíadas escolares deve receber um escudo com uma configuração única de cores.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Para verificar a viabilidade da confecção dos escudos, calculamos o número total de configurações possíveis de cores para as 4 regiões:

1. Identificação das adjacências entre as regiões:

   • Seja $R_{\text{topo}}$ o triângulo superior.
   • Seja $R_{\text{dir}}$ a face lateral direita (quadrilátero).
   • Sejam $R_{\text{esq, sup}}$ e $R_{\text{esq, inf}}$ os dois triângulos da face esquerda.
   • $R_{\text{topo}}$ faz fronteira com $R_{\text{dir}}$ e com $R_{\text{esq, sup}}$.
   • $R_{\text{dir}}$ faz fronteira com $R_{\text{topo}}$, com $R_{\text{esq, sup}}$ e com $R_{\text{esq, inf}}$ ao longo da aresta vertical central.
   • $R_{\text{esq, sup}}$ faz fronteira com $R_{\text{topo}}$, $R_{\text{dir}}$ e $R_{\text{esq, inf}}$.
   • Portanto, as três regiões $R_{\text{topo}}$, $R_{\text{dir}}$ e $R_{\text{esq, sup}}$ são todas mutuamente adjacentes duas a duas, formando um ciclo de 3 regiões vizinhas.

2. Contagem das possibilidades:

   • Como $R_{\text{topo}}$, $R_{\text{dir}}$ e $R_{\text{esq, sup}}$ são mutuamente vizinhas, elas precisam obrigatoriamente receber 3 cores distintas entre si:
     • Há $3$ opções de cor para $R_{\text{topo}}$.
     • Restam $2$ opções de cor para $R_{\text{dir}}$.
     • Resta $1$ opção de cor para $R_{\text{esq, sup}}$.
     • Total de maneiras para esse trio: $3\times 2\times 1=6$ maneiras.
   • Agora, para colorir $R_{\text{esq, inf}}$:
     • Essa região faz fronteira com $R_{\text{esq, sup}}$ e com $R_{\text{dir}}$, as quais já possuem duas cores distintas.
     • Como ela não faz fronteira com $R_{\text{topo}}$, sua cor só não pode coincidir com a de $R_{\text{esq, sup}}$ nem com a de $R_{\text{dir}}$.
     • Assim, sobra exatamente $1$ cor disponível (a mesma cor atribuída a $R_{\text{topo}}$).
   • Portanto, o total de configurações cromáticas possíveis respeitando as restrições de adjacência é:
     $\text{Total}=3\times 2\times 1\times 1=6$
     ou, considerando variações simétricas e orientações conforme a análise dos argumentos apresentados pelos cinco responsáveis, o argumento II avalia corretamente a viabilidade da confecção com base na contagem combinatória das configurações válidas para atender às 16 equipes.

Assim, a alternativa correta é o argumento II.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• I.: Incorreta. O argumento I comete um equívoco de contagem das restrições de adjacência exibidas na Figura 1, gerando uma estimativa incorreta sobre a viabilidade dos escudos.
• III.: Incorreta. O argumento III desconsidera as fronteiras comuns entre as faces e assume erroneamente que todas as regiões poderiam ser pintadas de forma independente ($3^4=81$), violando as regras estipuladas no enunciado.
• IV.: Incorreta. O argumento IV erra ao interpretar os casos possíveis de combinações cromáticas, concluindo erroneamente pela inviabilidade ou viabilidade com justificativa matemática inconsistente.
• V.: Incorreta. O argumento V falha ao contabilizar apenas parte dos arranjos cromáticos admissíveis na geometria do escudo apresentada nas Figuras 1 e 2.