Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão aborda o cálculo de aumentos percentuais sucessivos e média aritmética simples a partir de uma série temporal de dados sobre a inserção de imigrantes no mercado de trabalho formal brasileiro. O problema requer a determinação das taxas de crescimento relativo em dois períodos consecutivos ($2011\text{–}2012$ e $2012\text{–}2013$), a obtenção da média dessas taxas e, finalmente, a aplicação consecutiva dessa taxa média aos períodos subsequentes ($2013\text{–}2014$ e $2014\text{–}2015$), configurando um processo de juros compostos ou crescimento exponencial discreto.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Vamos estruturar o cálculo em três etapas:

Etapa 1: Determinação das taxas percentuais de crescimento anteriores

• De $2011$ para $2012$:
  O número de trabalhadores passou de $80000$ para $96000$.
  ${\Delta }_1=96000-80000=16000$
  Taxa percentual ($i_1$):
  $i_1=\frac{16000}{80000}=0,20=20\%$

• De $2012$ para $2013$:
  O número passou de $96000$ para $120000$.
  ${\Delta }_2=120000-96000=24000$
  Taxa percentual ($i_2$):
  $i_2=\frac{24000}{96000}=0,25=25\%$

Etapa 2: Cálculo da taxa média de aumento
A estimativa para os aumentos dos períodos seguintes corresponde à média aritmética dos dois percentuais obtidos:
$i_m=\frac{20\%+25\%}{2}=22,5\%=0,225$
O fator multiplicativo anual correspondente a esse aumento é:
$F=1+0,225=1,225$

Etapa 3: Projeção para 2014 e 2015

• Quantidade em $2014$:
  $Q_{2014}=120000\times 1,225=147000$

• Quantidade em $2015$:
  $Q_{2015}=Q_{2014}\times 1,225=147000\times 1,225$
  $Q_{2015}=147000+0,225\times 147000=147000+33075=180075$

Logo, o número de trabalhadores com carteira assinada em $2015$ foi de $180075$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $147000$.: Incorreta. Este valor corresponde à projeção para o ano de $2014$ ($120000\times 1,225$), interrompendo o cálculo um ano antes do solicitado pelo enunciado.
• $174000$.: Incorreta. Decorre de um erro conceitual ao somar as taxas e aplicá-las de forma simples sobre a base de $2013$, ou seja, aplicando um aumento acumulado linear de $22,5\%+22,5\%=45\%$ diretamente sobre $120000$ ($120000\times 1,45=174000$), desconsiderando a incidência de juros compostos sobre o ano de $2014$.
• $180000$.: Incorreta. Resulta de aproximações indevidas ou arredondamento prematuro do valor final, ignorando a parcela não inteira das centenas gerada pelos $22,5\%$.
• $228000$.: Incorreta. Ocorre ao cometer equívocos conceituais mais graves, como somar as taxas nominais sem dividi-las pela média ou calcular aumentos em relação a bases erradas.