Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão solicita o cálculo da distância total percorrida por um ciclista ao completar duas voltas inteiras em um circuito fechado misto. A pista é composta por:

• 3 trechos retilíneos, com medidas explícitas na figura: $800\text{ m}$, $560\text{ m}$ e $370\text{ m}$.
• 5 trechos curvilíneos (arcos de circunferência):
  • Quatro arcos com raio $R=260\text{ m}$ e ângulos centrais de $100^{\circ }$, $150^{\circ }$, $80^{\circ }$ e $60^{\circ }$.
  • Um arco com ângulo reto ($90^{\circ }$) e raio $r=90\text{ m}$, indicado pelo símbolo de ângulo reto na parte superior direita da pista.

Aproximação dada: $\pi \approx 3$.

2. Justificativa da Alternativa Correta

1. Comprimento dos trechos retilíneos:
$C_{\text{retos}}=800+560+370=1730\text{ m}$

2. Comprimento do arco de ângulo reto ($r=90\text{ m}$, $\theta =90^{\circ }$):
$C_{90^{\circ }}=\frac{90^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi r=\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3\cdot 90=\frac{540}{4}=135\text{ m}$

3. Comprimento dos quatro arcos de raio maior ($R=260\text{ m}$):
A soma de seus ângulos centrais é:
$\Sigma \theta =100^{\circ }+150^{\circ }+80^{\circ }+60^{\circ }=390^{\circ }$

O comprimento total desses quatro arcos é:
$C_{\text{arcos}}=\frac{390^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi R=\frac{13}{12}\cdot 2\cdot 3\cdot 260=\frac{13}{12}\cdot 1560=13\cdot 130=1690\text{ m}$

4. Comprimento total de uma volta completa ($P_{\text{volta}}$):
$P_{\text{volta}}=C_{\text{retos}}+C_{90^{\circ }}+C_{\text{arcos}}=1730+135+1690=3555\text{ m}$

5. Distância total percorrida em 2 voltas ($D$):
$D=2\cdot P_{\text{volta}}=2\cdot 3555=7110\text{ m}$

Logo, a alternativa correta é a $7110$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $7620$: Incorreta. Ocorre se o candidato aplicar indevidamente o raio de $260\text{ m}$ a todos os 5 arcos da pista (incluindo o de $90^{\circ }$), somando $\Sigma \theta =480^{\circ }$, o que daria $C_{\text{curvas}}=\frac{480^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 6\cdot 260=2080\text{ m}$, totalizando uma volta de $3810\text{ m}$ e duas voltas de $2\cdot 3810=7620\text{ m}$.
• $5540$: Incorreta. Decorre de somar as duas voltas dos trechos retilíneos ($2\cdot 1730=3460\text{ m}$) com o comprimento de curvas calculado incorretamente ou apenas de uma volta das curvas com raio alterado.
• $5285$: Incorreta. Corresponde a duplicar apenas os trechos retos ($2\cdot 1730=3460\text{ m}$) e somar com as curvas de apenas uma única volta ($1825\text{ m}$), resultando em $3460+1825=5285\text{ m}$.
• $4900$: Incorreta. Resulta de erros nos cálculos das frações dos arcos ou esquecimento de trechos da pista na soma total das duas voltas.