Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão analisa a relação geométrica e métrica entre uma esfera (a bola de basquete) e um paralelepípedo reto de base quadrada (a caixa). Pela imagem fornecida, observa-se que a caixa possui paredes translúcidas e que a esfera está apoiada na base inferior e tangencia as faces laterais. Como a altura da caixa ($27\text{ cm}$) é menor do que o diâmetro total da esfera ($30\text{ cm}$), uma calota esférica (destacada em laranja sólido na imagem) projeta-se para fora através de uma abertura circular na tampa plana.

A tampa corresponde à área de um quadrado de lado igual à largura da caixa, subtraída da área do orifício circular resultante da seção plana da esfera pelo plano da tampa a uma distância $d$ do centro da esfera.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Vamos determinar as dimensões envolvidas para calcular a área da tampa:

1. Dimensões da base da caixa e raio da esfera:

   • O diâmetro da bola é $D=30\text{ cm}$, o que resulta em um raio $R=\frac{30}{2}=15\text{ cm}$.
   • Como a bola tangencia as quatro faces laterais da caixa de base quadrada, o lado da base mede exatamente o diâmetro da esfera: $L=30\text{ cm}$.
   • A área da tampa quadrada completa (sem a abertura) seria $A_{\text{quadrado}}=L^2=30^2$.

2. Distância do centro da esfera ao plano da tampa ($d$):

   • A bola tangencia o fundo da caixa, logo o centro da esfera está a uma altura $z=R=15\text{ cm}$ em relação à base inferior.
   • A tampa da caixa está situada na altura $h=27\text{ cm}$.
   • Portanto, a distância vertical $d$ entre o centro da esfera e a tampa é:
     $d=27-15=12\text{ cm}$

3. Raio da abertura circular ($r$):

   • Pelo Teorema de Pitágoras aplicado à seção esférica plana ($R^2=d^2+r^2$):
     $15^2=12^2+r^2$
     $225=144+r^2⟹r^2=81⟹r=9\text{ cm}$
   • A área do orifício circular é dada por $A_{\text{furo}}=\pi \cdot r^2=\pi \cdot 9^2$.

4. Área da tampa da caixa:

   • Subtraindo a área do orifício circular da área total do quadrado da tampa:
     $A_{\text{tampa}}=A_{\text{quadrado}}-A_{\text{furo}}=30^2-\pi \cdot 9^2$

Portanto, a alternativa correta é a Ordem 3.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $\pi \cdot 9^2$: Incorreta. Esse valor representa apenas a área da abertura circular por onde a bola passa, esquecendo de calcular a área da tampa sólida quadrada restante.
• $\pi \cdot 15^2$: Incorreta. Representa a área do círculo máximo da esfera (seção equatorial de raio $15\text{ cm}$), ignorando a tampa e a altura efetiva do corte da esfera.
• $30^2-\pi \cdot 3^2$: Incorreta. Considera incorretamente o raio da abertura circular como a diferença linear entre o raio e a distância ($R-d=15-12=3\text{ cm}$), desrespeitando a relação quadrática pitagórica da seção esférica.
• $30^2-\pi \cdot 15^2$: Incorreta. Supõe que a abertura circular na tampa teria o raio máximo da esfera ($15\text{ cm}$), o que só ocorreria se a tampa estivesse na altura do equador da bola ($15\text{ cm}$ de altura), e não a $27\text{ cm}$.