Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão analisa o princípio da propagação retilínea da luz e a semelhança de triângulos na formação de sombras projetadas. No esquema fornecido, observa-se à direita a chama da vela atuando como fonte luminosa puntiforme. À esquerda, a parede vertical recebe a projeção da sombra da haste. A haste vertical opaca, de comprimento total $20\text{ cm}$, está posicionada paralelamente à parede a uma distância horizontal $X$ da chama. A parede dista $140\text{ cm}$ da chama da vela, e a sombra total projetada possui altura $H$, indicada na parede por duas metades de medida $\frac{H}{2}$ simétricas em relação à linha horizontal tracejada central.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Pelo princípio da propagação retilínea da luz e pela geometria do diagrama, a haste e sua sombra na parede são segmentos verticais paralelos interceptados pelos feixes luminosos divergentes que partem da chama da vela. Isso estabelece dois triângulos semelhantes com vértice comum na chama da vela:

• O triângulo menor tem base igual ao comprimento da haste ($20\text{ cm}$) e altura igual à distância horizontal da chama à haste ($X$).
• O triângulo maior tem base igual à altura total da sombra ($H=\frac{H}{2}+\frac{H}{2}$) e altura igual à distância da chama à parede ($140\text{ cm}$).

Estabelecendo a proporção entre as bases e as respectivas alturas relativas:
$\frac{\text{base maior}}{\text{base menor}}=\frac{\text{altura maior}}{\text{altura menor}}⟹\frac{H}{20}=\frac{140}{X}$

Multiplicando os termos da proporção:
$H\cdot X=20\cdot 140$
$H\cdot X=2800$

Portanto, a relação correta entre $H$ e $X$ é expressa por $H\cdot X=2800$, correspondendo à alternativa correta.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $\frac{H}{X}=\frac{1}{7}$: Incorreta. Essa relação sugere proporcionalidade direta entre $H$ e $X$, além de inverter incorretamente a razão entre as dimensões conhecidas ao calcular $\frac{20}{140}=\frac{1}{7}$ de forma inadequada na proporção de semelhança.
• $\frac{H}{X}=7$: Incorreta. Erro decorrente de montar a proporção direta $\frac{H}{X}=\frac{140}{20}=7$, desconsiderando que a altura da sombra varia de forma inversamente proporcional à distância da haste à fonte luminosa.
• $H\cdot X=700$: Incorreta. Resulta de equívocos aritméticos ou de considerar apenas um quarto da proporção total necessária.
• $H\cdot X=1400$: Incorreta. Resulta de utilizar apenas metade da haste ($10\text{ cm}$) com a metade superior da sombra $\frac{H}{2}$ sem ajustar os fatores, ou multiplicar a meia haste ($10\text{ cm}$) diretamente pelos $140\text{ cm}$ ($10\cdot 140=1400$).