Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A notação científica é uma representação padronizada utilizada para simplificar a escrita, manipulação e leitura de números excessivamente grandes ou extremamente pequenos. Formalmente, um número real positivo está em notação científica quando expresso na forma:

$N=a\times 10^b$

em que $a$ (a mantissa) é um número real tal que $1\le a<10$, e $b$ (a ordem de grandeza) é um expoente inteiro ($b\in \mathbb{Z}$).

No problema em questão, o valor fornecido está acompanhado do multiplicador nominal "milhões". No sistema decimal, o termo "milhão" equivale a $10^6$ ($1000000$). O objetivo é converter o valor total expresso com essa unidade mista para a unidade fundamental (dólares) e representá-lo estritamente sob as regras da notação científica.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Seguindo o passo a passo algébrico:

1. Substituição da unidade nominal pelo fator em potência de dez:
   $\text{Valor}=1138,32\text{ milho˜es de doˊlares}=1138,32\times 10^6\text{ doˊlares}$

2. Ajuste da mantissa para o intervalo $[1,10)$:
   Para transformar $1138,32$ em um número entre $1$ e $10$, desloca-se a vírgula $3$ casas decimais para a esquerda, o que equivale a multiplicar por $10^3$:
   $1138,32=1,13832\times 10^3$

3. Aplicação das propriedades das potências de mesma base:
   Substituindo de volta na expressão do montante total:
   $\text{Valor}=(1,13832\times 10^3)\times 10^6=1,13832\times 10^{3+6}=1,13832\times 10^9$

Portanto, a arrecadação em notação científica corresponde a $1,13832\times 10^9$ dólares.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $1,13832\times 10^3$: Incorreta. Esse resultado considera apenas a transformação da mantissa ($1138,32=1,13832\times 10^3$) e desconsidera completamente a palavra "milhões" ($10^6$), representando meramente cerca de mil dólares em vez de mais de um bilhão.
• $1,13832\times 10^6$: Incorreta. Esse resultado surge do erro de associar a palavra "milhões" diretamente ao expoente $6$ sem realizar o deslocamento das $3$ casas decimais para ajustar a mantissa ao intervalo $[1,10)$.
• $1,13832\times 10^8$: Incorreta. Esse valor decorre de um erro de contagem no deslocamento da vírgula ao converter $1138,32$ (deslocando apenas $2$ casas decimais como se fosse $10^2$, obtendo $10^{2+6}=10^8$), o que manteria a mantissa incorreta ($11,3832$).
• $1,13832\times 10^{10}$: Incorreta. Este expoente resulta de uma contagem excessiva de casas decimais (deslocamento de $4$ casas em vez de $3$, obtendo $10^4\times 10^6=10^{10}$) ou da confusão de ordens de grandeza decimais.