Na avaliação de riscos em investimentos no setor fin... | Matemática e suas Tecnologias Question

Na avaliação de riscos em investimentos no setor financeiro, compreender o desvio padrão das taxas de retorno ao longo de um período permite analisar riscos potenciais associados a um investimento. Quanto maior o desvio padrão, maior a variação das taxas de retorno e, consequentemente, maior o risco associado ao investimento. Um desvio padrão mais baixo indica um investimento mais estável e previsível.

Uma classificação de risco de investimento que adota o desvio padrão ( $d p$ ) como medida para avaliação é:

• muito baixo: $d p < 5%$ ;
• baixo: $5% \leq d p < 10%$ ;
• moderado: $10% \leq d p < 20%$ ;
• alto: $20% \leq d p < 30%$ ;
• muito alto: $d p \geq 30%$ .

Um investidor analisou, ao longo de cinco meses, as taxas de retorno de um tipo de investimento na bolsa de valores e identificou, respectivamente, retornos mensais de $3%$ , $15%$ , $6%$ , $9%$ e $12%$ . Ele pretende aplicar um capital nesse tipo de investimento e adotará o desvio padrão como medida para avaliar a classificação do risco associado.

A classificação do risco desse tipo de investimento é

1. Compreensão do Contexto Geral

Na análise financeira e estatística descritiva, a média aritmética sintetiza a tendência central dos retornos de um ativo, enquanto as medidas de dispersão — notadamente a variância e o desvio padrão — quantificam a volatilidade em torno dessa média. No mercado de investimentos, maior volatilidade traduz-se em maior incerteza e, portanto, maior risco. O problema propõe avaliar uma série temporal de retornos mensais ao longo de cinco meses e classificar o perfil de risco do investimento a partir do intervalo em que se enquadra o seu desvio padrão ( $d p$ ).

2. Justificativa da Alternativa Correta

Para calcular o desvio padrão das taxas de retorno ${3%, 15%, 6%, 9%, 12%}$ , seguimos os passos:

Média aritmética dos retornos ( $\overset{x}{ˉ}$ ):
$\overset{x}{ˉ} = \frac{3 + 15 + 6 + 9 + 12}{5} = \frac{45}{5} = 9%$
Diferenças em relação à média e quadrados dos desvios:

$(3 - 9)^{2} = (- 6)^{2} = 36$
$(15 - 9)^{2} = 6^{2} = 36$
$(6 - 9)^{2} = (- 3)^{2} = 9$
$(9 - 9)^{2} = 0^{2} = 0$
$(12 - 9)^{2} = 3^{2} = 9$

Variância ( $σ^{2}$ ):
$σ^{2} = \frac{36 + 36 + 9 + 0 + 9}{5} = \frac{90}{5} = 18$

(Nota: caso se considerasse o desvio padrão amostral com divisor $n - 1 = 4$ , teríamos $s^{2} = \frac{90}{4} = 22, 5$ , donde $s = 22, 5 \approx 4, 74%$ , que também resulta em um valor estritamente menor do que $5%$ ).

Desvio padrão ( $d p$ ):
$d p = 18 = 32 \approx 3 \times 1, 414 \approx 4, 24%$
Classificação do risco:
Comparando o valor obtido com as faixas fornecidas:

muito baixo: $d p < 5%$ ;

Como $4, 24% < 5%$ , a classificação do risco desse investimento é muito baixo.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

baixo.: Incorreta. Essa faixa exige que o desvio padrão pertença ao intervalo $5% \leq d p < 10%$ . O candidato chegaria a essa faixa se errasse a raiz de $18$ ou confundisse a amplitude interquartil/média com o desvio padrão.
moderado.: Incorreta. Essa faixa requer $10% \leq d p < 20%$ . Um estudante cometeria esse equívoco se tomasse a variância ( $σ^{2} = 18 %^{2}$ ) diretamente como desvio padrão sem extrair a raiz quadrada.
alto.: Incorreta. Essa faixa contempla $20% \leq d p < 30%$ . Poderia decorrer do esquecimento da divisão por $5$ no cálculo da variância amostral corrigida com outro fator ou de erros grosseiros na soma dos quadrados.
muito alto.: Incorreta. Exige $d p \geq 30%$ . O candidato incorreria nesse erro se somasse os quadrados das diferenças sem dividir pelo número de observações antes de calcular a raiz (obtendo $90 \approx 9, 49%$ ) ou se tomasse a soma total dos quadrados de forma distorcida.

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Official Explanation / Community Explanations

Explicação Oficial

1. Compreensão do Contexto Geral

2. Justificativa da Alternativa Correta

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)