Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

Na Estatística Descritiva, a mediana é a medida de tendência central que divide um conjunto de dados ordenados (rol) em duas metades com igual número de elementos. Para uma amostra de tamanho $N$:

• Se $N$ for ímpar, a mediana é o termo central posicionado em $\frac{N+1}{2}$.
• Se $N$ for par, a mediana é a média aritmética simples dos dois termos centrais, que ocupam as posições $\frac{N}{2}$ e $\left(\frac{N}{2}+1\right)$.

A questão solicita o cálculo da mediana das taxas percentuais de pobreza no Brasil entre 2012 e 2021 a partir da leitura direta dos pontos no gráfico de linhas temporais, que contempla $N=10$ observações anuais.

2. Justificativa da Alternativa Correta

1. Extração dos dados anuais do gráfico:

   • $2012$: $27,36\%$
   • $2013$: $25,48\%$
   • $2014$: $23,72\%$
   • $2015$: $24,93\%$
   • $2016$: $26,51\%$
   • $2017$: $26,79\%$
   • $2018$: $26,86\%$
   • $2019$: $26,05\%$
   • $2020$: $25,08\%$
   • $2021$: $29,62\%$

2. Organização em rol (ordem crescente):

   • $1^{\circ }$: $23,72\%$
   • $2^{\circ }$: $24,93\%$
   • $3^{\circ }$: $25,08\%$
   • $4^{\circ }$: $25,48\%$
   • $5^{\circ }$ termo: $26,05\%$
   • $6^{\circ }$ termo: $26,51\%$
   • $7^{\circ }$: $26,79\%$
   • $8^{\circ }$: $26,86\%$
   • $9^{\circ }$: $27,36\%$
   • $10^{\circ }$: $29,62\%$

3. Cálculo da mediana:
   Sendo $N=10$ (par), os termos centrais são o $5^{\circ }$ ($x_{(5)}$) e o $6^{\circ }$ ($x_{(6)}$):
   $\text{Mediana}=\frac{x_{(5)}+x_{(6)}}{2}=\frac{26,05\%+26,51\%}{2}=\frac{52,56\%}{2}=26,28\%$

Portanto, a mediana das taxas de pobreza no período considerado é $26,28\%$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $26,00\%$: Incorreta. Representa uma aproximação grosseira ou erro de leitura do $5^{\circ }$ elemento ($26,05\%$) sem efetuar a média entre os dois termos centrais do rol.
• $26,24\%$: Incorreta. Este valor corresponde exatamente à média aritmética simples de todos os 10 anos da série temporal (soma total de $262,40\%÷10=26,24\%$), confundindo o conceito de média com o de mediana.
• $26,65\%$: Incorreta. Resulta da média aritmética entre o $6^{\circ }$ e o $7^{\circ }$ termos do rol: $\frac{26,51\%+26,79\%}{2}=26,65\%$, errando a identificação das posições centrais em uma amostra de tamanho 10.
• $26,67\%$: Incorreta. Valor derivado de equívoco aritmético ao calcular a média dos valores intermediários cronológicos da série (como os anos de 2016 e 2017) ou desvio no arredondamento.