Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

Em processos industriais e estatísticos de controle de qualidade (como nas cartas de controle de Shewhart ou na metodologia Seis Sigma), é comum estabelecer faixas de tolerância baseadas em múltiplos do desvio padrão ($\sigma$ ou $d$) em torno da média aritmética ($\mu$ ou $M$). O intervalo $[M-3d,M+3d]$ define os limites inferior e superior de controle, abarcando aproximadamente $99,73\%$ de uma distribuição normal de medidas.

Na situação descrita, a nova máquina opera com uma média deslocada para a direita ($M^{\prime }=5,6\text{ cm}>5,0\text{ cm}$). Para que a variabilidade da nova máquina não produza peças fora da especificação original da linha anterior, o novo intervalo de controle $[M^{\prime }-3d^{\prime },M^{\prime }+3d^{\prime }]$ deve estar estritamente contido no intervalo de tolerância da máquina anterior.

2. Justificativa da Alternativa Correta

1. Determinação dos limites da máquina anterior:
   Com média $M=5,0\text{ cm}$ e desvio padrão $d=1,2\text{ cm}$:

   • Limite inferior: $C_{\min }=M-3d=5,0-3(1,2)=5,0-3,6=1,4\text{ cm}$
   • Limite superior: $C_{\max }=M+3d=5,0+3(1,2)=5,0+3,6=8,6\text{ cm}$

2. Estabelecimento das condições para a nova máquina:
   Para a nova máquina, temos a média $M^{\prime }=5,6\text{ cm}$ e novo desvio padrão $d^{\prime }$. O novo intervalo sob controle é dado por $[5,6-3d^{\prime },5,6+3d^{\prime }]$.

   Como nenhum comprimento pode ser menor que $1,4\text{ cm}$ nem maior que $8,6\text{ cm}$, duas inequações devem ser satisfeitas simultaneamente:

   • Limite inferior:
     $5,6-3d^{\prime }\ge 1,4⟹3d^{\prime }\le 5,6-1,4⟹3d^{\prime }\le 4,2⟹d^{\prime }\le 1,4\text{ cm}$
   • Limite superior:
     $5,6+3d^{\prime }\le 8,6⟹3d^{\prime }\le 8,6-5,6⟹3d^{\prime }\le 3,0⟹d^{\prime }\le 1,0\text{ cm}$

3. Conclusão:
   Para atender simultaneamente a ambas as restrições, prevalece a condição mais restritiva:
   $d^{\prime }\le \min (1,4;1,0)=1,0\text{ cm}$
   Portanto, o valor máximo que o novo desvio padrão pode assumir é $1,00\text{ cm}$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $0,60$: Incorreta. Esse valor é a diferença entre as médias ($5,6-5,0=0,6$), o que não corresponde ao desvio padrão máximo calculado pelas faixas de tolerância.
• $1,12$: Incorreta. Pode resultar da razão direta incorreta entre as médias e o desvio antigo, como $\frac{5,6}{5,0}\times 1,0$ ou uma manipulação proporcional equivocada sem considerar a margem de $3d$.
• $1,2$: Incorreta. É o desvio padrão original da máquina anterior. Se o desvio se mantivesse em $1,2\text{ cm}$, o limite superior passaria a ser $5,6+3(1,2)=9,2\text{ cm}$, extrapolando o limite máximo permitido ($8,6\text{ cm}$).
• $1,80$: Incorreta. Esse valor decorre de equívocos aritméticos ou da soma da diferença de médias com o desvio anterior ($1,2+0,6=1,8$), violando severamente ambas as especificações de controle.