Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão aborda o cálculo de probabilidades clássicas em espaços amostrais finitos e equiprováveis, envolvendo a probabilidade da união de dois eventos (conectivo lógico "ou").

Quando desejamos encontrar a probabilidade da união de dois eventos $A$ e $B$, podemos utilizar o Princípio da Inclusão-Exclusão:
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Alternativamente, o problema pode ser resolvido de forma direta por contagem de elementos disjuntos ou pelo evento complementar, em que se subtrai do total a probabilidade do evento oposto ao desejado.

2. Justificativa da Alternativa Correta

O espaço amostral $\Omega$ é formado por $15+15=30$ pessoas.

1. Distribuição da imunidade no grupo:

   • Mulheres imunes: $80\%$ de $15=0,80\times 15=12$ mulheres.
   • Mulheres não imunes: $15-12=3$ mulheres.
   • Homens imunes: $60\%$ de $15=0,60\times 15=9$ homens.
   • Homens não imunes: $15-9=6$ homens.

2. Determinação dos casos favoráveis:
   Deseja-se selecionar uma pessoa que seja homem ($H$) OU imune ($I$).

   • Método direto (soma de conjuntos disjuntos):
     Os casos favoráveis englobam todos os homens (sejam imunes ou não) mais as mulheres que são imunes:
     $n(H\cup I)=n(\text{Homens})+n(\text{Mulheres Imunes})=15+12=27$

   • Método da Inclusão-Exclusão:
     $n(H)=15$
     $n(I)=12+9=21$
     $n(H\cap I)=9$
     $n(H\cup I)=n(H)+n(I)-n(H\cap I)=15+21-9=27$

   • Método do Evento Complementar:
     O evento complementar de "ser homem ou ser imune" é "ser mulher e não ser imune". Como há $3$ mulheres não imunes:
     $P(H\cup I)=1-P(\text{Mulher e Na˜o Imune})=1-\frac{3}{30}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

3. Cálculo da probabilidade:
   $P(H\cup I)=\frac{27}{30}=\frac{9}{10}$

Portanto, a alternativa correta é $\frac{9}{10}$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $\frac{1}{20}$: Incorreta. Esse valor corresponde a $0,05$ (ou $5\%$), o que poderia ser obtido por erros severos de operação aritmética, como dividir a quantidade de mulheres não imunes ($3$) por um espaço amostral incorretamente duplicado ($60$).
• $\frac{3}{10}$: Incorreta. Esse valor representa a probabilidade da intersecção dos eventos, isto é, de a pessoa sorteada ser homem e imune ao mesmo tempo ($P(H\cap I)=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$), confundindo a união ("ou") com a conjunção ("e").
• $\frac{7}{20}$: Incorreta. Representa $0,35$, valor que decorre de equívocos na contagem dos participantes ou da divisão indevida do total de pessoas imunes ($21$) por $60$ (o dobro do espaço amostral), gerando $\frac{21}{60}=\frac{7}{20}$.
• $\frac{8}{10}$: Incorreta. Esse valor equivaleria a $24$ pessoas favoráveis em $30$ ($\frac{24}{30}=\frac{8}{10}$). Esse erro ocorre caso o candidato considere todos os $15$ homens e apenas os $9$ homens imunes ($15+9=24$), esquecendo-se de computar as mulheres imunes, ou caso confunda com a taxa percentual isolada de eficácia nas mulheres ($80\%=\frac{8}{10}$).