Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão propõe a determinação da medida de um ângulo $x$ em uma planta esquemática de escada composta por três lances em ziguezague. O enunciado informa explicitamente que as semirretas que representam o Piso superior e o Piso inferior são paralelas ($r\parallel s$). Observando o esquema geométrico:

• O primeiro lance sobe a partir da horizontal do Piso inferior com inclinação de $32^{\circ }$.
• No vértice do primeiro patamar (à direita), o ângulo entre o primeiro e o segundo lance é de $67^{\circ }$.
• No vértice do segundo patamar (à esquerda), o ângulo entre o segundo e o terceiro lance é de $65^{\circ }$.
• No encontro do terceiro lance com o Piso superior, forma-se o ângulo $x$.

A resolução baseia-se na propriedade de retas paralelas cortadas por transversais (ângulos alternos internos e colaterais internos).

2. Justificativa da Alternativa Correta

Para encontrar o ângulo $x$, traçamos retas horizontais imaginárias paralelas aos pisos passando pelos vértices dos dois patamares:

1. Primeiro patamar (vértice à direita):

   • Traçando uma reta horizontal paralela voltada para a esquerda, o ângulo alterno interno com o primeiro lance mede $32^{\circ }$.
   • Como o ângulo total entre o primeiro e o segundo lance é de $67^{\circ }$, a inclinação do segundo lance em relação à horizontal para a esquerda é:
     ${\theta }_2=67^{\circ }-32^{\circ }=35^{\circ }$

2. Segundo patamar (vértice à esquerda):

   • Traçando uma reta horizontal paralela voltada para a direita, o ângulo alterno interno formado com o segundo lance mede $35^{\circ }$.
   • Como o ângulo total entre o segundo e o terceiro lance é de $65^{\circ }$, a inclinação do terceiro lance em relação à horizontal para a direita é:
     ${\theta }_3=65^{\circ }-35^{\circ }=30^{\circ }$

3. Chegada ao Piso superior:

   • O terceiro lance sobe com uma inclinação de $30^{\circ }$ em relação à horizontal.
   • O ângulo $x$ indicado na figura é colateral interno (suplementar) ao ângulo de inclinação de $30^{\circ }$ em relação à semirreta horizontal do Piso superior:
     $x+30^{\circ }00^{\prime }=180^{\circ }00^{\prime }$
     $x=180^{\circ }00^{\prime }-30^{\circ }00^{\prime }=150^{\circ }00^{\prime }$

Portanto, a medida do ângulo $x$ é exatamente $150^{\circ }00^{\prime }$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $146^{\circ }30^{\prime }$: Incorreta. Esse valor ocorreria caso se presumisse uma inclinação final de $33^{\circ }30^{\prime }$ para o terceiro lance ($180^{\circ }-33^{\circ }30^{\prime }=146^{\circ }30^{\prime }$), decorrente de erro no cálculo sexagesimal dos patamares.
• $147^{\circ }00^{\prime }$: Incorreta. Resulta de ignorar a inclinação intermediária de $67^{\circ }$ e subtrair diretamente $65^{\circ }-32^{\circ }=33^{\circ }$, efetuando $180^{\circ }-33^{\circ }=147^{\circ }00^{\prime }$.
• $147^{\circ }30^{\prime }$: Incorreta. Corresponde a subtrair $32^{\circ }30^{\prime }$ de $180^{\circ }$, advindo de imprecisão na leitura ou manipulação de minutos e graus.
• $148^{\circ }00^{\prime }$: Incorreta. Decorre de supor erroneamente que o terceiro lance tem a mesma inclinação do primeiro lance ($32^{\circ }$), calculando $180^{\circ }-32^{\circ }=148^{\circ }00^{\prime }$ e ignorando as mudanças de direção nos patamares de $67^{\circ }$ e $65^{\circ }$.