Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A média aritmética simples de um conjunto de valores é obtida dividindo-se a soma de todos os elementos pelo número total de termos. Quando novos elementos são adicionados ao conjunto, a nova média passa a depender tanto da quantidade inicial de observações quanto da magnitude dos novos dados inseridos.

Neste problema, a alteração da média das alturas de uma equipe esportiva após a inclusão de dois integrantes permite estabelecer uma relação linear entre o número inicial de membros e os acréscimos observados. A questão exige a modelagem do problema por meio de uma equação de primeiro grau e, fundamentalmente, atenção ao comando final, que solicita a quantidade total de integrantes da nova equipe e não da equipe inicial.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Seja $n$ o número inicial de estudantes na equipe.

1. Soma inicial das alturas ($S_{\text{inicial}}$):
   ${\bar{x}}_{\text{inicial}}=\frac{S_{\text{inicial}}}{n}=1,66⟹S_{\text{inicial}}=1,66n$

2. Inclusão dos novos integrantes:
   Dois novos estudantes foram adicionados, com alturas de $1,75\text{ m}$ e $1,85\text{ m}$.
   $\text{Soma das novas alturas}=1,75+1,85=3,60\text{ m}$
   Assim, a nova soma das alturas ($S_{\text{nova}}$) e a nova quantidade de alunos ($N_{\text{nova}}$) são dadas por:
   $S_{\text{nova}}=1,66n+3,60$
   $N_{\text{nova}}=n+2$

3. Cálculo da nova média:
   ${\bar{x}}_{\text{nova}}=\frac{S_{\text{nova}}}{N_{\text{nova}}}=1,67$
   $\frac{1,66n+3,60}{n+2}=1,67$

4. Resolução da equação:
   $1,66n+3,60=1,67(n+2)$
   $1,66n+3,60=1,67n+3,34$
   $3,60-3,34=1,67n-1,66n$
   $0,26=0,01n⟹n=\frac{0,26}{0,01}=26$

5. Total de estudantes na nova equipe:
   Como $n=26$ é a quantidade da equipe inicial, a nova equipe possui:
   $N_{\text{nova}}=26+2=28$

Portanto, a alternativa correta é a que indica $28$ estudantes.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $14$: Incorreta. Esse valor decorre de um erro grosseiro na modelagem algébrica, como esquecer de multiplicar ambos os termos no desenvolvimento distributivo de $1,67(n+2)$ ou subtrair incorretamente as grandezas.
• $16$: Incorreta. Pode surgir caso o candidato confunda grandezas intermediárias ou deduza incorretamente que $n=14$ e tente somar os $2$ novos integrantes ($14+2=16$).
• $26$: Incorreta. Este é o distrator clássico da questão. O valor $26$ corresponde ao número de estudantes que formavam a equipe inicial ($n=26$). O comando da questão pede expressamente o número de estudantes que formam a nova equipe ($n+2=28$).
• $30$: Incorreta. Ocorre ao somar os $2$ estudantes duas vezes (por exemplo, calculando $26+2=28$ e somando mais $2$ ao final por engano) ou por erro aritmético no isolamento da incógnita na equação.