Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão propõe um problema clássico de otimização discreta e aritmética aplicada (semelhante ao problema da soma de subconjuntos ou da mochila com restrições). O objetivo é alcançar um comprimento total de $150\text{ cm}$ a partir de uma combinação linear com coeficientes inteiros não negativos das larguras disponíveis:

$\{25\text{ cm},35\text{ cm},40\text{ cm},60\text{ cm},75\text{ cm}\}$

Duas condições fundamentais restringem o espaço de soluções viáveis:

1. Minimização da quantidade de peças: busca-se o menor número total de elementos somados;
2. Diversidade mínima: a composição deve conter pelo menos dois tipos distintos de peças.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Para encontrar a menor quantidade de peças, investigamos progressivamente a viabilidade a partir do menor número inteiro de peças possível:

• Tentativa com $1$ peça:
  A maior largura individual disponível é $75\text{ cm}<150\text{ cm}$, sendo inviável.

• Tentativa com $2$ peças:
  A soma deve ser $x+y=150\text{ cm}$. As somas possíveis com dois elementos do conjunto são:

  • $75+75=150\text{ cm}$ (utiliza apenas a peça V, descumprindo a exigência de conter pelo menos dois tipos de peças com larguras distintas);
  • Usando peças distintas, a combinação de maior valor possível é $75+60=135\text{ cm}<150\text{ cm}$. Logo, é estritamente impossível obter $150\text{ cm}$ com $2$ peças de tipos diferentes.

• Tentativa com $3$ peças:
  Buscamos $x+y+z=150\text{ cm}$ utilizando as larguras disponíveis de modo que nem todas sejam idênticas.
  Se escolhermos a maior peça possível ($75\text{ cm}$), restam $150-75=75\text{ cm}$ para serem preenchidos por duas peças:

  • Dentre as larguras menores que $75\text{ cm}$ ($\{25,35,40,60\}$), observa-se imediatamente que:
    $40\text{ cm}+35\text{ cm}=75\text{ cm}$
    Portanto, a combinação:
    $\text{Pec¸a V }(75\text{ cm})+\text{Pec¸a III }(40\text{ cm})+\text{Pec¸a II }(35\text{ cm})=150\text{ cm}$
    utiliza exatamente $3$ peças, com $3$ tipos distintos (o que satisfaz a condição de conter "pelo menos dois tipos diferentes").

Como não é possível com $1$ ou $2$ peças atendendo a todas as restrições, a menor quantidade possível é $3$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $2$: Incorreta. A única soma de duas peças que atinge $150\text{ cm}$ é $75+75=150\text{ cm}$, que consiste em duas peças do mesmo tipo (tipo V). O enunciado exige expressamente a compra de "pelo menos dois tipos de peças com larguras diferentes", tornando a opção de $2$ peças inviável, já que a maior soma com tipos distintos é $75+60=135\text{ cm}$.
• $4$: Incorreta. Embora seja possível obter $150\text{ cm}$ com $4$ peças (por exemplo, $60+40+25+25=150\text{ cm}$), esta não representa a menor quantidade de peças, pois a meta pode ser cumprida com apenas $3$ peças.
• $5$: Incorreta. Representa uma quantidade superior à mínima necessária. Seria obtida, por exemplo, somando $35+35+35+25+20$ (se houvesse) ou combinações como $40+35+25+25+25=150\text{ cm}$, violando o critério de minimização.
• $6$: Incorreta. É a quantidade máxima entre as alternativas propostas (por exemplo, seis peças de $25\text{ cm}$, que além de não ser a menor quantidade, violaria a exigência de diversidade de tipos).