Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão aborda problemas clássicos de torneiras e reservatórios modelados por meio de funções polinomiais do 1º grau (função afim) e taxas de variação constantes (vazão). A expressão $V(t)=20+5t$ descreve a variação linear do volume acumulado em função do tempo decorrido, em que:

• O termo independente ($20$) representa o volume inicial de água já presente na piscina no instante $t=0\text{ h}$ (em ${\text{m}}^3$);
• O coeficiente angular ($5$) representa a taxa de variação volumétrica no tempo, ou seja, a vazão constante do primeiro registro ($5{\text{ m}}^3/\text{h}$).

Quando um segundo registro entra em operação mantendo o primeiro ativo, as vazões se somam, gerando uma taxa conjunta de enchimento para o volume restante.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Vamos resolver o problema em etapas lógicas:

1. Determinação do tempo inicialmente previsto ($t_{\text{prev}}$):
   Para encher a capacidade total de $100{\text{ m}}^3$ operando apenas com o primeiro registro:
   $100=20+5t_{\text{prev}}⟹5t_{\text{prev}}=80⟹t_{\text{prev}}=16\text{ horas}$

2. Situação no instante $t=10\text{ h}$:
   O volume de água acumulado após $10\text{ horas}$ foi de:
   $V(10)=20+5(10)=70{\text{ m}}^3$
   Portanto, o volume restante a ser preenchido era:
   $V_{\text{restante}}=100-70=30{\text{ m}}^3$

3. Cálculo do novo tempo final e do tempo restante:
   A intervenção reduziu o tempo total de enchimento em $4\text{ horas}$:
   $t_{\text{novo}}=16-4=12\text{ horas}$
   Como já haviam decorrido $10\text{ horas}$, o tempo que os dois registros funcionaram juntos foi de:
   $\Delta t=12-10=2\text{ horas}$

4. Cálculo da vazão do novo registro ($Q_2$):
   A vazão conjunta ($Q_{\text{conjunta}}=Q_1+Q_2$) necessária para completar os $30{\text{ m}}^3$ em $2\text{ horas}$ é dada por:
   $Q_{\text{conjunta}}=\frac{30{\text{ m}}^3}{2\text{ h}}=15{\text{ m}}^3/\text{h}$
   Sabendo que $Q_1=5{\text{ m}}^3/\text{h}$, determinamos a vazão $Q_2$ do novo registro:
   $Q_2=Q_{\text{conjunta}}-Q_1=15-5=10{\text{ m}}^3/\text{h}$

Logo, a vazão do novo registro é de $10{\text{ m}}^3/\text{h}$.

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

• $5$: Incorreta. Este valor corresponde à vazão do primeiro registro ($Q_1$), já dada no enunciado pelo coeficiente angular da função afim, e não à do novo registro.
• $9$: Incorreta. Valor decorrente de equívocos na contagem do tempo restante ou na interpretação da redução de $4\text{ h}$ diretamente sobre o tempo parcial decorrido.
• $15$: Incorreta. Representa a vazão conjunta dos dois registros em operação simultânea ($Q_1+Q_2=15{\text{ m}}^3/\text{h}$), esquecendo-se de subtrair a vazão do primeiro registro ($5{\text{ m}}^3/\text{h}$).
• $35$: Incorreta. Corresponde à divisão equivocada do volume já preenchido ($70{\text{ m}}^3$) pelo tempo restante ($2\text{ h}$), ou seja, $70/2=35{\text{ m}}^3/\text{h}$, trocando o volume já existente pelo volume que ainda faltava preencher.