Dois professores participam de um concurso público com três fases. A primeira fase avalia o desempenho teórico, a segunda fase refere-se às experiências e aos títulos obtidos durante a vida...

Dois professores participam de um concurso público c... | Matemática e suas Tecnologias Question

1. Compreensão do Contexto Geral

A questão contextualiza o processo de classificação em um concurso público regido por uma média ponderada entre três etapas ( $F_{1}$ , $F_{2}$ e $F_{3}$ ), com pesos respectivos de $0, 4$ , $0, 1$ e $0, 5$ . Além do cálculo algébrico da nota final ( $N F$ ), o problema estabelece restrições normativas típicas de certames: nota de corte mínima ( $F_{i} \geq 6, 0$ para todas as fases) e um critério de desempate explícito baseado no melhor desempenho na primeira fase ( $F_{1}$ ). O objetivo pedagógico é modelar matematicamente a condição necessária e suficiente para que o segundo candidato obtenha a primeira colocação geral.

2. Justificativa da Alternativa Correta

Vamos calcular a nota final do primeiro candidato ( $N F_{1}$ ) utilizando as notas fornecidas ( $F_{1} = 7, 0$ , $F_{2} = 7, 0$ e $F_{3} = 10, 0$ ):
$N F_{1} = 0, 4 \cdot 7, 0 + 0, 1 \cdot 7, 0 + 0, 5 \cdot 10, 0$
$N F_{1} = 2, 8 + 0, 7 + 5, 0 = 8, 5$

Para o segundo candidato, denote a nota da terceira fase por $x$ . Sabendo que $F_{1} = 8, 0$ e $F_{2} = 8, 0$ , a sua nota final ( $N F_{2}$ ) é dada por:
$N F_{2} = 0, 4 \cdot 8, 0 + 0, 1 \cdot 8, 0 + 0, 5 \cdot x$
$N F_{2} = 3, 2 + 0, 8 + 0, 5 x = 4, 0 + 0, 5 x$

Analisando o critério de desempate:

Em caso de igualdade nas notas finais ( $N F_{2} = N F_{1}$ ), o critério de desempate favorece o candidato com maior nota em $F_{1}$ .
Como a nota do segundo candidato na primeira fase ( $8, 0$ ) é estritamente maior que a do primeiro candidato ( $7, 0$ ), o segundo candidato assume a primeira colocação mesmo em caso de empate.

Portanto, basta que $N F_{2} \geq N F_{1}$ :
$4, 0 + 0, 5 x \geq 8, 5$
$0, 5 x \geq 8, 5 - 4, 0$
$0, 5 x \geq 4, 5$
$x \geq \frac{4 , 5}{0 , 5} = 9, 0$

Como $x = 9, 0$ é superior à nota de corte mínima de $6, 0$ exigida em cada fase, a nota mínima necessária para garantir a primeira colocação é de fato $9, 0$ .

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)

$2, 0$ : Incorreta. Uma nota $x = 2, 0$ na terceira fase resultaria em desclassificação imediata do candidato (pois a nota mínima em cada fase é $6, 0$ ), além de gerar uma nota final de apenas $N F_{2} = 4, 0 + 0, 5 (2, 0) = 5, 0$ , muito inferior a $8, 5$ .
$4, 0$ : Incorreta. Além de infringir a cláusula de barreira que exige nota mínima de $6, 0$ por fase, com $x = 4, 0$ a nota final seria $N F_{2} = 4, 0 + 0, 5 (4, 0) = 6, 0$ , mantendo o segundo participante em desvantagem em relação aos $8, 5$ pontos do primeiro.
$6, 0$ : Incorreta. O valor $6, 0$ corresponde apenas à nota mínima de aprovação para não ser desclassificado na fase. Caso o candidato tire $6, 0$ , sua nota final será $N F_{2} = 4, 0 + 0, 5 (6, 0) = 7, 0$ , não sendo suficiente para superar ou empatar com o primeiro colocado ( $8, 5$ ).
$9, 5$ : Incorreta. Com a nota $9, 5$ , o participante obteria $N F_{2} = 4, 0 + 0, 5 (9, 5) = 8, 75$ , superando estritamente a pontuação do primeiro participante ( $8, 75 > 8, 5$ ). Contudo, a pergunta requer a nota mínima necessária para ser o primeiro colocado; devido à vantagem no critério de desempate, a nota $9, 0$ já basta para assegurar a liderança.

Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bdd

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Explicação Oficial

1. Compreensão do Contexto Geral

2. Justificativa da Alternativa Correta

3. Análise dos Distratores (Alternativas Incorretas)