Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bea

Question Statement

Matemática e suas Tecnologias

#Análise Combinatória e Probabilidade

Medium

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

tipo I, pois $p_1$ < $p_2$ < $p_3$.

Correct

tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

tipo III, pois $p_3$ < $p_2$ < $p_1$.

tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Official Explanation / Community Explanations

A probabilidade de descobrir uma senha ao acaso é o inverso do número total de senhas possíveis. Quanto maior o número de senhas possíveis, menor a probabilidade. Para o tipo I, o número total de senhas é o arranjo de $64$ caracteres tomados $4$ a $4$ : $A (64, 4) = 64 \times 63 \times 62 \times 61 = 15.249.024$ . Para o tipo II, a senha tem estrutura fixa: $3$ letras ( $26 \times 25 \times 24$ ), $1$ algarismo ( $10$ ), $1$ caractere especial ( $6$ ), totalizando $26 \times 25 \times 24 \times 10 \times 6 = 936.000$ . Para o tipo III: $2$ letras ( $26 \times 25$ ), $2$ algarismos ( $10 \times 9$ ), $2$ caracteres especiais ( $6 \times 5$ ), totalizando $26 \times 25 \times 10 \times 9 \times 6 \times 5 = 1.755.000$ . Assim, o tipo I tem o maior número de senhas possíveis, logo a menor probabilidade ( $p_{1} < p_{2} < p_{3}$ ). A alternativa que afirma que o tipo I é o de menor probabilidade e que $p_{1} < p_{2} < p_{3}$ está correta. As demais alternativas estão incorretas: a que diz que o tipo I tem menor quantidade de caracteres (na verdade, menor quantidade de caracteres geralmente aumenta a probabilidade, não diminui); a que diz que o tipo II tem maior quantidade de letras (isso não garante menor probabilidade, pois o número total de senhas é menor que o tipo I); a que diz que o tipo III tem $p_{3} < p_{2} < p_{1}$ (na verdade $p_{1}$ é o menor); e a que diz que o tipo III tem maior quantidade de caracteres (embora tenha mais caracteres, o número de senhas possíveis é menor que o tipo I, então a probabilidade é maior).

Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bea

Official Explanation / Community Explanations

Explicação Oficial