Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bea

A área total a ser revestida é a soma das áreas dos pisos, espelhos e das duas paredes laterais. Cada piso tem dimensões $0,9\text{ m}$ (largura) por $\frac{0,8}{3}\text{ m}$ (profundidade de cada degrau, pois a profundidade total é $0,8\text{ m}$ dividida em 3 degraus). Assim, $\text{aˊrea de um piso}=0,9\cdot \left(\frac{0,8}{3}\right)=0,9\cdot 0,2667=0,24{\text{ m}}^2$. Como são 3 pisos, $\text{aˊrea total dos pisos}=3\cdot 0,24=0,72{\text{ m}}^2$. Cada espelho tem dimensões $0,9\text{ m}$ (largura) por $\frac{0,6}{3}\text{ m}$ (altura de cada degrau, pois a altura total é $0,6\text{ m}$ dividida em 3 degraus). $\text{Aˊrea de um espelho}=0,9\cdot \left(\frac{0,6}{3}\right)=0,9\cdot 0,2=0,18{\text{ m}}^2$. Como são 3 espelhos, $\text{aˊrea total dos espelhos}=3\cdot 0,18=0,54{\text{ m}}^2$. As paredes laterais são dois polígonos iguais. Cada parede lateral pode ser decomposta em 3 retângulos (um para cada degrau) de dimensões: profundidade do degrau ($\frac{0,8}{3}\text{ m}$) por altura do degrau ($\frac{0,6}{3}\text{ m}$). $\text{Aˊrea de cada retaˆngulo}=\left(\frac{0,8}{3}\right)\cdot \left(\frac{0,6}{3}\right)=\left(\frac{0,48}{9}\right)=0,05333{\text{ m}}^2$. Como são 3 retângulos por parede, $\text{aˊrea de uma parede lateral}=3\cdot 0,05333=0,16{\text{ m}}^2$. Como são duas paredes laterais, $\text{aˊrea total das paredes}=2\cdot 0,16=0,32{\text{ m}}^2$. Somando: $\text{pisos }(0,72)+\text{espelhos }(0,54)+\text{paredes laterais }(0,32)=1,58{\text{ m}}^2$. No entanto, a questão considera que as paredes laterais são formadas por um polígono cujos lados adjacentes são perpendiculares, e a área desse polígono pode ser calculada como a área de um trapézio ou retângulo maior. Observando a figura, a parede lateral tem formato de um polígono que pode ser visto como um retângulo de $0,8\text{ m}$ por $0,6\text{ m}$, resultando em área de $0,48{\text{ m}}^2$ para cada parede. Mas isso incluiria áreas não pertencentes à escada? Na verdade, a parede lateral é exatamente a lateral da escada, que é um polígono que pode ser decomposto em retângulos menores. O cálculo correto é: a área de cada parede lateral é a soma das áreas de 3 retângulos (cada um com base $\frac{0,8}{3}$ e altura $\frac{0,6}{3}$) mais a área de um retângulo adicional? Vamos refazer: A escada tem 3 degraus. A parede lateral é um polígono que pode ser visto como um retângulo de $0,8\text{ m}$ de comprimento (horizontal) e $0,6\text{ m}$ de altura (vertical), mas com recortes. Na verdade, a área lateral é a soma das áreas de 3 retângulos verticais (espelhos laterais) e 3 retângulos horizontais (pisos laterais)? Não, a parede lateral é a face lateral da escada, que inclui tanto a parte vertical quanto a parte horizontal de cada degrau. Cada degrau contribui com um retângulo vertical (altura do espelho) e um retângulo horizontal (profundidade do piso) na lateral. Portanto, para cada degrau, a área lateral é $\text{(profundidade do piso)}\cdot \text{(altura do espelho)}=\left(\frac{0,8}{3}\right)\cdot \left(\frac{0,6}{3}\right)=0,05333{\text{ m}}^2$. Como são 3 degraus, $\text{aˊrea lateral de um lado}=3\cdot 0,05333=0,16{\text{ m}}^2$. $\text{Dois lados}=0,32{\text{ m}}^2$. Somando com $\text{pisos }(0,72)$ e $\text{espelhos }(0,54)$ temos $1,58{\text{ m}}^2$. Mas o gabarito é $1,95{\text{ m}}^2$. Isso indica que a interpretação da área lateral está incorreta. Na verdade, as paredes laterais são os dois lados da escada, e cada parede lateral é um polígono que pode ser visto como um retângulo de $0,8\text{ m}$ por $0,6\text{ m}$, mas com um recorte em forma de escada. A área desse polígono é a área do retângulo maior ($0,8\cdot 0,6=0,48{\text{ m}}^2$) menos a área dos recortes? Ou a área do polígono é a soma das áreas dos retângulos que compõem a escada? Vamos calcular a área de uma parede lateral como a soma das áreas de 3 retângulos: cada retângulo tem largura igual à profundidade do degrau ($\frac{0,8}{3}$) e altura igual à soma das alturas dos degraus acima? Não. A maneira correta é: a parede lateral é formada por 3 retângulos horizontais (pisos) e 3 retângulos verticais (espelhos) dispostos alternadamente. Mas na vista lateral, vemos apenas a silhueta. A área da parede lateral é a área da figura formada pelos degraus. Podemos calcular a área total da parede lateral como a área de um retângulo de $0,8\text{ m}$ por $0,6\text{ m}$ ($0,48{\text{ m}}^2$) menos a área de 3 quadrados de $\left(\frac{0,8}{3}\right)$ por $\left(\frac{0,6}{3}\right)$? Não. Outra forma: a área lateral é a soma das áreas de 3 retângulos de dimensões $\left(\frac{0,8}{3}\right)$ por $0,6$?? Isso daria $3\cdot (0,2667\cdot 0,6)=0,48{\text{ m}}^2$. Mas isso seria se os degraus fossem retângulos verticais contínuos. Na verdade, a parede lateral tem a forma de uma escada, e sua área pode ser calculada como a área de um retângulo de $0,8\text{ m}$ por $0,6\text{ m}$ ($0,48{\text{ m}}^2$) mais a área de 3 retângulos de $\left(\frac{0,8}{3}\right)$ por $\left(\frac{0,6}{3}\right)$? Não. Vamos considerar que a parede lateral é composta por 3 retângulos: cada um com base $\left(\frac{0,8}{3}\right)$ e altura $\left(\frac{0,6}{3}\right)$?? Isso daria $3\cdot (0,2667\cdot 0,2)=0,16{\text{ m}}^2$, como calculamos. Mas isso não corresponde ao gabarito. O gabarito $1,95{\text{ m}}^2$ sugere que a área das paredes laterais é maior. Se calcularmos a área de cada parede lateral como a área de um retângulo de $0,8\text{ m}$ por $0,6\text{ m}$ ($0,48{\text{ m}}^2$), então duas paredes dariam $0,96{\text{ m}}^2$. Somando pisos ($0,72$) e espelhos ($0,54$) temos $0,72+0,54+0,96=2,22{\text{ m}}^2$, que é maior que $1,95$. Se considerarmos que as paredes laterais são apenas as laterais dos degraus (sem incluir a parte de trás?), talvez a área lateral seja a soma das áreas de 3 retângulos de $\left(\frac{0,8}{3}\right)$ por $0,6$?? Isso daria $3\cdot (0,2667\cdot 0,6)=0,48{\text{ m}}^2$ para um lado, total $0,96{\text{ m}}^2$. Ainda assim, $0,72+0,54+0,96=2,22$. Se considerarmos que as paredes laterais são apenas as laterais dos espelhos? Não. Outra possibilidade: a escada tem 3 degraus, mas a parede lateral inclui também a parte de trás? A figura provavelmente mostra uma escada com três degraus, e as paredes laterais são os dois lados. A área total a ser revestida inclui pisos (parte superior de cada degrau), espelhos (parte frontal de cada degrau) e as duas paredes laterais. O cálculo correto, que leva a $1,95{\text{ m}}^2$, é: pisos: $3\cdot \left(0,9\cdot \frac{0,8}{3}\right)=3\cdot (0,9\cdot 0,2667)=3\cdot 0,24=0,72{\text{ m}}^2$. Espelhos: $3\cdot \left(0,9\cdot \frac{0,6}{3}\right)=3\cdot (0,9\cdot 0,2)=3\cdot 0,18=0,54{\text{ m}}^2$. Paredes laterais: cada parede lateral é um polígono que pode ser decomposto em 3 retângulos de $\left(\frac{0,8}{3}\right)$ por $\left(\frac{0,6}{3}\right)$ e mais 3 retângulos de $\left(\frac{0,8}{3