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Matemática e suas Tecnologias
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Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bea

Question Statement
Matemática e suas Tecnologias
#Geometria Plana
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Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1 , C2 e C3, como apresentados na figura.

A imagem mostra três círculos de diâmetros a, b e c, dispostos de modo que seus diâmetros formam um triângulo retângulo, com a hipotenusa a sendo o diâmetro do círculo maior. Os círculos estão sobrepostos de forma que seus centros estão nos vértices do triângulo. Há um ângulo α indicado entre os diâmetros b e c.

Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1 ) = área (C2 ) + área (C3 ). Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

Content Image

A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas. A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

A

0° < α < 90°

B

α = 90°

C

90° < α < 180°

Correct
D

α = 180°

E

180° < α < 360°

Official Explanation / Community Explanations

A questão relaciona a geometria de um triângulo retângulo com círculos cujos diâmetros são os lados do triângulo. Pelo teorema de Pitágoras, a área do círculo de diâmetro a (hipotenusa) é igual à soma das áreas dos círculos de diâmetros b e c (catetos) apenas quando o triângulo é retângulo (α = 90°). No entanto, o professor afirma que a área de sua pizza (círculo de diâmetro a) é maior que a soma das áreas das outras duas. Isso ocorre quando o ângulo α entre os diâmetros b e c é obtuso, ou seja, maior que 90° e menor que 180°. Nesse caso, o lado a (oposto ao ângulo α) é maior que a hipotenusa de um triângulo retângulo com os mesmos catetos, e consequentemente a área do círculo de diâmetro a supera a soma das áreas dos círculos de diâmetros b e c. A alternativa que indica 90° < α < 180° está correta. As demais alternativas estão incorretas: para α entre 0° e 90° (agudo), a área de a é menor que a soma; para α = 90°, as áreas são iguais; para α = 180°, os pontos são colineares e não formam triângulo; para α entre 180° e 360°, o ângulo interno do triângulo seria maior que 180°, o que é impossível em um triângulo.