Matemática e suas Tecnologias Question #019e5beb

Question Statement

Matemática e suas Tecnologias

#Função Quadrática

Medium

Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola $y = -\frac{x^2}{6} - \frac{7x}{3} + 12$, em que $y$ representa a altura da bola em relação ao eixo $x$ (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são: • ginásio I: 17 m; • ginásio II: 18 m; • ginásio III: 19 m; • ginásio IV: 21 m; • ginásio V: 40 m. O saque desse atleta foi invalidado

apenas no ginásio I.

apenas nos ginásios I e II.

apenas nos ginásios I, II e III.

apenas nos ginásios I, II, III e IV.

Correct

em todos os ginásios.

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A resposta correta é a Alternativa D (apenas nos ginásios I, II, III e IV).

Para determinar se a bola atinge o teto de um ginásio, precisamos calcular a altura máxima real da bola em relação ao solo.

Equação da trajetória:
$y = - \frac{x ^{2}}{6} - \frac{7 x}{3} + 12$
Onde os coeficientes são $a = - \frac{1}{6}$ , $b = - \frac{7}{3}$ e $c = 12$ .
Determinação do vértice ( $y_{v}$ ) da parábola:
O valor de $y_{v}$ representa o ponto máximo da parábola em relação ao eixo de referência $x$ :
$Δ = b^{2} - 4 a c = (- \frac{7}{3})^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{6}) \cdot 12 = \frac{49}{9} + 8 = \frac{49 + 72}{9} = \frac{121}{9}$
$y_{v} = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{121/9}{4 \cdot ( - 1/6 )} = - \frac{121/9}{- 2/3} = \frac{121}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{121}{6} \approx 20, 17 m$
Cálculo da altura máxima real (em relação ao piso):
Como o referencial (eixo $x$ ) está posicionado a $1, 5 m$ do piso, devemos somar essa altura inicial ao valor máximo do vértice:
$Altura m \overset{a}{ˊ} xima total = y_{v} + 1, 5 = 20, 17 + 1, 5 = 21, 67 m$
Comparação com as alturas dos ginásios:
O saque é invalidado se a bola tocar ou ultrapassar a altura do teto do ginásio:
- Ginásio I (17 m): $21, 67 m > 17 m \to$ Invalidado
- Ginásio II (18 m): $21, 67 m > 18 m \to$ Invalidado
- Ginásio III (19 m): $21, 67 m > 19 m \to$ Invalidado
- Ginásio IV (21 m): $21, 67 m > 21 m \to$ Invalidado
- Ginásio V (40 m): $21, 67 m < 40 m \to$ Válido

Portanto, o saque foi invalidado apenas nos ginásios I, II, III e IV.

Matemática e suas Tecnologias Question #019e5beb

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