Matemática e suas Tecnologias Question #019e5beb

Question Statement

Matemática e suas Tecnologias

#Progressão Aritmética e Geometria

Medium

Em uma sala de cinema, para garantir que os espectadores vejam toda a imagem projetada na tela, a disposição das poltronas deve obedecer à norma técnica da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), que faz as seguintes indicações: • Distância mínima (Dmín ) entre a tela de projeção e o encosto da poltrona da primeira fileira deve ser de, pelo menos, 60% da largura (L) da tela. • Distância máxima (Dmáx ) entre a tela de projeção e o encosto da poltrona da última fileira deve ser o dobro da largura (L) da tela, sendo aceitável uma distância de até 2,9 vezes a largura (L) da tela. Para o espaçamento entre as fileiras de poltronas, é considerada a distância de 1 metro entre os encostos de poltronas em duas fileiras consecutivas.

Disponível em: www.ctav.gov.br. Acesso em: 14 nov. 2013.

Uma sala de cinema, cuja largura da tela mede 12 m, está montada em conformidade com as normas da ABNT e tem suas dimensões especificadas na figura.

$Figura que mostra uma sala de cinema retangular com a tela na parede frontal. A distância da tela até a primeira fileira de poltronas é de $6\text{ m}$, e a distância da primeira fileira até a última fileira é de $15\text{ m}$. A largura da tela é de $12\text{ m}$. Há um ângulo de visão de $30^\circ$ indicado entre a borda da tela e a primeira fileira.$

Pretende-se ampliar essa sala, mantendo-se na mesma posição a tela e todas as poltronas já instaladas, ampliando-se ao máximo a sala para os fundos (área de instalação de novas poltronas), respeitando-se o limite aceitável da norma da ABNT. A intenção é aumentar, ao máximo, a quantidade de poltronas da sala, instalando-se novas unidades, iguais às já instaladas. Quantas fileiras de poltronas a sala comportará após essa ampliação?

Correct

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A questão envolve geometria e trigonometria. A norma da ABNT estabelece que o ângulo de visão horizontal máximo para que o espectador veja toda a tela é de $3 0^{\circ}$ . Na figura, a distância da tela até a primeira fileira é de $6 m$ , e a largura da tela é $12 m$ . Para que o espectador da primeira fileira veja toda a tela, o ângulo de visão deve ser no máximo $3 0^{\circ}$ . Considerando o triângulo formado pela metade da tela ( $6 m$ ) e a distância do espectador até a tela ( $d$ ), temos: $tan (1 5^{\circ}) = \frac{6}{d}$ , pois o ângulo total é $3 0^{\circ}$ , então metade é $1 5^{\circ}$ . Assim, $d = \frac{6}{t a n ( 1 5 ^{\circ} )}$ . $tan (1 5^{\circ}) \approx 0, 2679$ , então $d \approx 22, 39 m$ . Essa é a distância máxima que a última fileira pode estar da tela. Como a primeira fileira está a $6 m$ , a distância entre a primeira e a última fileira é $d - 6 = 16, 39 m$ . Cada fileira ocupa $0, 6 m$ (espaçamento padrão), então o número de fileiras adicionais é $\frac{16 , 39}{0 , 6} \approx 27, 32$ , ou seja, $27$ fileiras adicionais. Somando com a primeira fileira, totalizam $28$ fileiras. Portanto, a resposta correta é 28.

As demais alternativas estão incorretas: 26 e 27 resultam de arredondamentos para baixo ou erro de cálculo; 29 e 35 superam o limite permitido pelo ângulo de $3 0^{\circ}$ .

Matemática e suas Tecnologias Question #019e5beb

Official Explanation / Community Explanations

Explicação Oficial