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Matemática e suas Tecnologias
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Matemática e suas Tecnologias Question #019e5beb

Question Statement
Matemática e suas Tecnologias
#Geometria Analítica
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O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

A imagem mostra um plano cartesiano com o eixo x representando a Rodovia 003. As cidades A e B estão localizadas em pontos distintos acima do eixo x. Há cinco pontos marcados no eixo x, numerados de I a V, que representam possíveis localizações para o ponto de conexão entre as rodovias 001, 002 e 003. As rodovias 001 e 002 são segmentos de reta que ligam as cidades A e B, respectivamente, a cada um desses pontos.

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível. Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

A

I

B

II

C

III

D

IV

Correct
E

V

Official Explanation / Community Explanations

A questão trata de minimizar a distância total percorrida entre duas cidades A e B, passando por um ponto de conexão na Rodovia 003 (eixo x). Isso é um problema clássico de reflexão: a menor distância entre dois pontos com um ponto intermediário sobre uma reta é obtida refletindo um dos pontos em relação à reta e traçando uma reta entre o ponto refletido e o outro ponto. O ponto de interseção dessa reta com o eixo x é o ponto ótimo. Na figura, a localização IV corresponde a esse ponto de interseção, pois a reta que liga a cidade A ao reflexo da cidade B (ou vice-versa) cruza o eixo x exatamente em IV. As outras localizações (I, II, III, V) resultam em distâncias maiores, pois não satisfazem a condição de reflexão. Portanto, a localização IV é a que minimiza a distância total.