Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bf0

A frase "I AM POTTER" possui $9$ letras, sendo $4$ vogais (I, A, O, E) e $5$ consoantes (M, P, T, T, R). Para que vogais e consoantes apareçam sempre intercaladas, a única disposição possível é iniciar com consoante, pois há mais consoantes que vogais. Assim, a sequência deve ser C V C V C V C V C ($5$ consoantes e $4$ vogais). O número de maneiras de organizar as consoantes é $5!$ (pois há duas letras T, mas elas são distintas? Na verdade, as consoantes são M, P, T, T, R: há repetição do T, então o número de permutações das consoantes é $\frac{5!}{2!}=\frac{5!}{2}$. Já as vogais são I, A, O, E, todas distintas, então $4!$ maneiras. Multiplicando, temos $\left(\frac{5!}{2}\right)\cdot 4!=\frac{4!5!}{2}$. Portanto, a alternativa correta é a que apresenta $\frac{4!5!}{2}$. As demais alternativas estão incorretas: $9!$ considera todas as letras como distintas e sem restrição de intercalação; $4!5!$ ignora a repetição do T; $2\times 4!5!$ considera que a sequência poderia começar com vogal, o que não é possível; $\frac{9!}{2}$ considera a repetição do T mas não a restrição de intercalação.