Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bf0

A questão envolve divisão proporcional e busca de igualdade. Inicialmente, o capital total é dividido em partes proporcionais a $4$, $6$ e $6$, totalizando $16$ partes. Antônio possui $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ do capital, Joaquim e José possuem cada um $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$. Para que todos tenham a mesma participação, cada um deve ficar com $\frac{1}{3}$ do capital total. Antônio precisa adquirir frações de Joaquim e José de modo que sua parte aumente de $\frac{1}{4}$ para $\frac{1}{3}$, ou seja, ele precisa de $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ do capital total. Essa fração $\frac{1}{12}$ deve ser obtida igualmente de Joaquim e José, pois ambos têm a mesma participação inicial. Portanto, de cada um, Antônio deve adquirir metade de $\frac{1}{12}$, que é $\frac{1}{24}$ do capital total. Mas a pergunta é: "A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir" – ou seja, qual fração do capital de Joaquim (ou de José) Antônio deve comprar. Joaquim possui $\frac{3}{8}$ do capital total. Se Antônio comprar $\frac{1}{24}$ do capital total de Joaquim, isso representa $\frac{\frac{1}{24}}{\frac{3}{8}}=\frac{1}{24}\cdot \frac{8}{3}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}$ do capital de Joaquim. O mesmo vale para José. Portanto, a fração do capital de cada sócio que Antônio deve adquirir é $\frac{1}{9}$. As demais alternativas: $\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{3}$ são frações muito grandes, que dariam a Antônio mais do que o necessário; $\frac{2}{3}$ também é grande; $\frac{4}{3}$ é maior que $1$, impossível. Assim, a resposta correta é $\frac{1}{9}$.