Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bf0

A questão envolve geometria e trigonometria aplicadas a um problema de sombreamento. O pergolado tem vigas paralelas com vãos de $30\text{ cm}$ entre elas. No solstício de verão, ao final da tarde, os raios solares fazem $30^{\circ }$ com a vertical (posição a pino). Nesse momento, a luz que passa pelo pergolado é metade da luz do meio-dia. Isso significa que a sombra projetada pelas vigas cobre metade da área entre elas.

Considere uma viga de altura $h$. A sombra projetada no chão por uma viga, devido aos raios solares inclinados, tem comprimento $s=h\cdot \tan (30^{\circ })$. Como $\tan (30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$, temos $s\approx 0,577h$. Para que a luz que passa seja metade, a sombra deve ocupar metade do vão de $30\text{ cm}$, ou seja, $s=15\text{ cm}$. Assim, $0,577h=15\to h=\frac{15}{0,577}\approx 26\text{ cm}$. Portanto, a altura mais próxima é $26\text{ cm}$.

A alternativa que indica $9\text{ cm}$ está incorreta porque resultaria em sombra de aproximadamente $5,2\text{ cm}$, cobrindo menos de $\frac{1}{6}$ do vão, deixando passar mais de $\frac{5}{6}$ da luz, muito acima da metade. A alternativa $15\text{ cm}$ daria sombra de cerca de $8,7\text{ cm}$, cobrindo menos de $\frac{1}{3}$ do vão, ainda insuficiente para reduzir a luz à metade. A alternativa $52\text{ cm}$ produziria sombra de $30\text{ cm}$, cobrindo todo o vão e bloqueando toda a luz, o que não corresponde à condição de metade da luz. A alternativa $60\text{ cm}$ resultaria em sombra de $34,6\text{ cm}$, maior que o vão, também bloqueando toda a luz. Portanto, apenas a altura de $26\text{ cm}$ atende à condição.