Matemática e suas Tecnologias Question #019e5bf1

A questão envolve a formação de duplas para um torneio de vôlei de praia, com a restrição de que nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. Temos $8$ amigos, dos quais $2$ são canhotos e $6$ são destros. As duplas são formadas sem ordem entre elas (apenas as duplas importam, não a ordem das duplas).

Primeiro, calculamos o número total de maneiras de formar $4$ duplas com $8$ pessoas, sem restrições. O número de maneiras de dividir $8$ pessoas em $4$ duplas não ordenadas é dado por: $\frac{8!}{(2!{)}^4\cdot 4!}=105$. Isso porque primeiro permutamos as $8$ pessoas, depois dividimos por $2!$ para cada dupla (já que a ordem dentro da dupla não importa) e por $4!$ para a ordem das duplas.

Agora, precisamos subtrair os casos em que pelo menos uma dupla é formada por dois canhotos. Como só há $2$ canhotos, a única possibilidade de dupla proibida é exatamente a dupla formada pelos dois canhotos. Então, contamos o número de formações em que os dois canhotos estão juntos em uma dupla. Tratamos essa dupla como um bloco. Assim, temos $1$ bloco (os dois canhotos) $+6$ destros $=7$ elementos para formar $4$ duplas? Na verdade, o bloco já é uma dupla, então precisamos formar as outras $3$ duplas com os $6$ destros restantes. O número de maneiras de dividir $6$ destros em $3$ duplas não ordenadas é: $\frac{6!}{(2!{)}^3\cdot 3!}=15$. Portanto, há $15$ formações em que os dois canhotos estão juntos.

Subtraindo: $105-15=90$. Portanto, a resposta correta é $90$.

As demais alternativas: $69$, $70$, $104$ e $105$ são incorretas. $105$ é o total sem restrição; $70$ e $69$ podem surgir de erros de contagem, como considerar a ordem das duplas ou não subtrair corretamente; $104$ é um valor próximo mas incorreto.