A figura foi extraída de um antigo jogo para computadores, chamado Bang! Bang!

A figura foi extraída de um antigo jogo para computa... | Ciências da Natureza e suas Tecnologias Question

Para resolver este problema, devemos analisar o movimento do projétil disparado pelo canhão A sob a óptica do lançamento oblíquo bidimensional.

O movimento pode ser decomposto em duas direções:

Horizontal (Eixo X): Movimento Retilíneo Uniforme (MRU).
Vertical (Eixo Y): Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), sujeito à aceleração da gravidade $g$ apontando para baixo.

A velocidade inicial na direção vertical ( $v_{0 y}$ ) é dada por:
$v_{0 y} = v_{0} \cdot sin (θ)$

No ponto mais alto da trajetória (altura máxima $H_{m \overset{a}{ˊ} x}$ ), a velocidade vertical do projétil se anula temporariamente ( $v_{y} = 0$ ). Como a parede está localizada exatamente na metade do caminho entre os canhões, o ponto de maior altura da trajetória parabólica simétrica coincidirá com a posição horizontal da parede.

Para que o projétil ultrapasse a parede de altura $H$ , a altura máxima da trajetória do projétil deve ser, no mínimo, igual a $H$ ( $H_{m \overset{a}{ˊ} x} \geq H$ ).

Utilizando a Equação de Torricelli para o movimento vertical:
$v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} - 2 \cdot g \cdot Δ y$

No ponto de altura máxima, temos $v_{y} = 0$ e $Δ y = H_{m \overset{a}{ˊ} x}$ :
$0 = (v_{0} \cdot sin (θ))^{2} - 2 \cdot g \cdot H_{m \overset{a}{ˊ} x}$
$2 \cdot g \cdot H_{m \overset{a}{ˊ} x} = v_{0}^{2} \cdot sin^{2} (θ)$
$H_{m \overset{a}{ˊ} x} = \frac{v _{0}^{2} \cdot s i n ^{2} ( θ )}{2 g}$

Para encontrar o valor mínimo de $v_{0}$ , igualamos a altura máxima $H_{m \overset{a}{ˊ} x}$ à altura da parede $H$ :
$H = \frac{v _{0}^{2} \cdot s i n ^{2} ( θ )}{2 g}$

Substituindo o ângulo de disparo fornecido pelo enunciado ( $θ = 4 5^{\circ}$ ):
$sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2} ⟹ sin^{2} (4 5^{\circ}) = (\frac{2}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Substituindo o valor do seno quadrado na equação da altura:
$H = \frac{v _{0}^{2} \cdot ( \frac{1}{2} )}{2 g}$
$H = \frac{v _{0}^{2}}{4 g}$

Isolando a velocidade de disparo $v_{0}$ :
$v_{0}^{2} = 4 \cdot g \cdot H$
$v_{0} = 4 \cdot g \cdot H$
$v_{0} = 2 g H$

Portanto, o módulo mínimo da velocidade inicial de disparo deve ser igual a $2 g H$ , correspondendo perfeitamente à alternativa C.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Question #019f6986

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