Ciências da Natureza e suas Tecnologias Question #019f6986

Question Statement

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

#Eletrodinâmica

Medium

Na montagem de uma cozinha para um restaurante, a escolha do material correto para as panelas é importante, pois a panela que conduz mais calor é capaz de cozinhar os alimentos mais rapidamente e, com isso, há economia de gás. A taxa de condução do calor depende da condutividade $k$ do material, de sua área $A$ , da diferença de temperatura $Δ T$ e da espessura $d$ do material, sendo dada pela relação $\frac{Δ Q}{Δ t} = k A \frac{Δ T}{d}$ . Em panelas com dois materiais, a taxa de condução é dada por $\frac{Δ Q}{Δ t} = A \frac{Δ T}{\frac{d _{1}}{k _{1}} + \frac{d _{2}}{k _{2}}}$ , em que $d_{1}$ e $d_{2}$ são as espessuras dos dois materiais, e $k_{1}$ e $k_{2}$ são as condutividades de cada material. Os materiais mais comuns no mercado para panelas são o alumínio ( $k = 20 W/m K$ ), o ferro ( $k = 8 W/m K$ ) e o aço ( $k = 5 W/m K$ ) combinado com o cobre ( $k = 40 W/m K$ ).

Compara-se uma panela de ferro, uma de alumínio e uma composta de $\frac{1}{2}$ da espessura em cobre e $\frac{1}{2}$ da espessura em aço, todas com a mesma espessura total e com a mesma área de fundo.

A ordem crescente da mais econômica para a menos econômica é

cobre-aço, alumínio e ferro.

alumínio, cobre-aço e ferro.

Correct

cobre-aço, ferro e alumínio.

alumínio, ferro e cobre-aço.

ferro, alumínio e cobre-aço.

Official Explanation / Community Explanations

Para resolver esta questão, devemos analisar a taxa de condução de calor ( $\frac{Δ Q}{Δ t}$ ) de cada uma das panelas sob as mesmas condições de área ( $A$ ), diferença de temperatura ( $Δ T$ ) e espessura total ( $d$ ).

A economia de gás está diretamente relacionada à rapidez com que a panela conduz o calor: quanto maior a taxa de condução de calor, mais rápido o alimento cozinha e mais econômica é a panela. Portanto, a panela "mais econômica" é aquela com maior taxa de condução, e a "menos econômica" é a de menor taxa.

Vamos calcular ou expressar a taxa de condução para cada caso em função do termo comum $(A \frac{Δ T}{d})$ :

Panela de Alumínio:
A condutividade do alumínio é $k_{al} = 20 W/m K$ e a espessura é $d$ .
$(\frac{Δ Q}{Δ t})_{alum \overset{ı}{ˊ} nio} = 20 \cdot (A \frac{Δ T}{d})$
Panela de Ferro:
A condutividade do ferro é $k_{ferro} = 8 W/m K$ e a espessura é $d$ .
$(\frac{Δ Q}{Δ t})_{ferro} = 8 \cdot (A \frac{Δ T}{d})$
Panela Composta (Cobre-Aço):
A espessura total é $d$ . Como metade é de cobre e metade é de aço:
- Espessura do cobre ( $d_{1}$ ) = $\frac{d}{2}$ com condutividade $k_{1} = 40 W/m K$
- Espessura do aço ( $d_{2}$ ) = $\frac{d}{2}$ com condutividade $k_{2} = 5 W/m K$
Aplicando a fórmula para dois materiais:
$(\frac{Δ Q}{Δ t})_{cobre-a \overset{c}{¸} o} = A \frac{Δ T}{\frac{d _{1}}{k _{1}} + \frac{d _{2}}{k _{2}}} = A \frac{Δ T}{\frac{d /2}{40} + \frac{d /2}{5}}$

Simplificando os denominadores internos:
$\frac{d}{2 \cdot 40} + \frac{d}{2 \cdot 5} = \frac{d}{80} + \frac{d}{10}$

Colocando no mesmo denominador comum (80):
$\frac{d}{80} + \frac{8 d}{80} = \frac{9 d}{80}$

Substituindo de volta na equação da taxa de condução:
$(\frac{Δ Q}{Δ t})_{cobre-a \overset{c}{¸} o} = A \frac{Δ T}{\frac{9 d}{80}} = \frac{80}{9} \cdot (A \frac{Δ T}{d}) \approx 8, 89 \cdot (A \frac{Δ T}{d})$

Comparação das Taxas de Condução (Economia):

Alumínio: $20 \cdot (A \frac{Δ T}{d})$ (Mais econômica)
Cobre-Aço: $\approx 8, 89 \cdot (A \frac{Δ T}{d})$ (Intermediária)
Ferro: $8 \cdot (A \frac{Δ T}{d})$ (Menos econômica)

A questão pede a ordem da mais econômica para a menos econômica (ordem decrescente de eficiência, expressa no enunciado como "ordem crescente da mais econômica para a menos econômica", ou seja, partindo daquela que gera maior economia até a de menor economia):

Alumínio (Mais econômica)
Cobre-Aço
Ferro (Menos econômica)

Portanto, a alternativa correta é a B.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Question #019f6986

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