Ciências da Natureza e suas Tecnologias Question #019f6986

Para resolver esta questão, podemos utilizar a relação fundamental dada no enunciado:
${\phi }^2=\phi +1$

A partir dela, podemos expressar as potências sucessivas de $\phi$ multiplicando a expressão anterior por $\phi$ e substituindo ${\phi }^2$ sempre que ele aparecer. Vamos calcular passo a passo:

1. Para ${\phi }^2$:
   ${\phi }^2=1\phi +1$

2. Para ${\phi }^3$:
   ${\phi }^3=\phi \cdot {\phi }^2=\phi (\phi +1)={\phi }^2+\phi$
   Substituindo ${\phi }^2$ por $\phi +1$:
   ${\phi }^3=(\phi +1)+\phi =2\phi +1$

3. Para ${\phi }^4$:
   ${\phi }^4=\phi \cdot {\phi }^3=\phi (2\phi +1)=2{\phi }^2+\phi$
   Substituindo ${\phi }^2$ por $\phi +1$:
   ${\phi }^4=2(\phi +1)+\phi =2\phi +2+\phi =3\phi +2$

4. Para ${\phi }^5$:
   ${\phi }^5=\phi \cdot {\phi }^4=\phi (3\phi +2)=3{\phi }^2+2\phi$
   Substituindo ${\phi }^2$ por $\phi +1$:
   ${\phi }^5=3(\phi +1)+2\phi =3\phi +3+2\phi =5\phi +3$

5. Para ${\phi }^6$:
   ${\phi }^6=\phi \cdot {\phi }^5=\phi (5\phi +3)=5{\phi }^2+3\phi$
   Substituindo ${\phi }^2$ por $\phi +1$:
   ${\phi }^6=5(\phi +1)+3\phi =5\phi +5+3\phi =8\phi +5$

6. Para ${\phi }^7$:
   ${\phi }^7=\phi \cdot {\phi }^6=\phi (8\phi +5)=8{\phi }^2+5\phi$
   Substituindo ${\phi }^2$ por $\phi +1$:
   ${\phi }^7=8(\phi +1)+5\phi =8\phi +8+5\phi =13\phi +8$