Ciências da Natureza e suas Tecnologias Question #019f6986

Para resolver este problema, devemos utilizar o conceito de evento complementar em probabilidade.

1. Definição dos Eventos:
   Queremos que a probabilidade de o jogador pontuar (ou seja, acertar pelo menos um dardo no alvo em $n$ lançamentos) seja maior ou igual a $\frac{9}{10}$.

   O evento complementar de "acertar pelo menos um dardo" é "errar todos os dardos".

2. Cálculo das Probabilidades:

   • A probabilidade de acertar um dardo em um lançamento individual é $p=\frac{1}{2}$.
   • A probabilidade de errar um dardo em um lançamento individual é $q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
   • Se o jogador faz $n$ lançamentos independentes, a probabilidade de ele errar todos os $n$ lançamentos é:
     $P(\text{errar todos})={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

3. Probabilidade de Pontuar:
   A probabilidade de pontuar ($P(\text{pontuar})$) é o complementar de errar todos:
   $P(\text{pontuar})=1-P(\text{errar todos})=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

4. Aplicação da Condição do Enunciado:
   O organizador deseja que essa probabilidade seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$:
   $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\ge \frac{9}{10}$

   Isolando o termo com a potência de base $\frac{1}{2}$:
   $1-\frac{9}{10}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$
   $\frac{1}{10}\ge \frac{1}{2^n}$

   Invertendo ambos os lados da desigualdade (o que inverte o sinal de desigualdade):
   $10\le 2^n⟹2^n\ge 10$

5. Determinação do menor valor inteiro de $n$:
   Vamos testar valores inteiros e positivos para $n$:

   • Para $n=1$: $2^1=2$ (menor que 10)
   • Para $n=2$: $2^2=4$ (menor que 10)
   • Para $n=3$: $2^3=8$ (menor que 10)
   • Para $n=4$: $2^4=16$ (maior ou igual a 10)

Portanto, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados é 4.