Matemática e suas Tecnologias Question #019f6986

Para determinar a expressão algébrica que descreve a posição $P(t)$ da massa $m$ ao longo do tempo, analisamos os elementos que compõem a função trigonométrica a partir das características do gráfico de um Movimento Harmônico Simples (MHS):

1. Determinação da Amplitude ($A$):
   A amplitude $A$ representa o deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio (origem). Observando as alternativas, a amplitude associada à função é $A=3$ (descartando as alternativas D e E, que sugerem amplitude de valor $6$).

2. Análise do Comportamento Inicial ($t=0$):
   Ao soltar a mola da posição extrema em $t=0$, a posição inicial da massa não está na posição de equilíbrio ($P(0)\ne 0$).

   • Se o gráfico iniciasse em $0$, utilizaríamos a função seno, pois $\text{sen}(0)=0$.
   • Como o gráfico inicia em um ponto de deslocamento máximo (neste caso, no ponto mínimo, abaixo do eixo horizontal, correspondente a $-3$), devemos utilizar a função cosseno, pois $\cos (0)=1$.
   • Para que o valor em $t=0$ seja negativo ($P(0)=-3$), a expressão deve conter o sinal negativo antes do coeficiente da amplitude:
     $P(t)=-A\cos (\omega t)$
     Substituindo $A=3$:
     $P(0)=-3\cos (0)=-3$
     Isso elimina as alternativas B, C e E.

3. Determinação da Frequência Angular ($\omega$):
   Comparando com as alternativas restantes, temos o termo de frequência angular $\omega =2\text{ rad/s}$ dentro do argumento da função trigonométrica. Isso resulta em um período de oscilação igual a:
   $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi \text{ s}$

Portanto, a equação que descreve perfeitamente a posição do bloco ao longo do tempo é:
$P(t)=-3\cos (2t)$