Matemática Question #019f69c5

A questão aborda o conceito de Valor Esperado (também chamado de Esperança Matemática, representado por $E[X]$ ou $\mu$) de uma variável aleatória $X$.

O valor esperado funciona como uma média ponderada dos valores que a variável aleatória pode assumir, em que os pesos são as respectivas probabilidades de ocorrência de cada valor.

1. Formulação Matemática

• Para variáveis aleatórias discretas:
  $E[X]=\sum x_i\cdot P(X=x_i)$
  Onde $x_i$ representa cada valor possível da variável e $P(X=x_i)$ representa a probabilidade associada a esse valor.

• Para variáveis aleatórias contínuas:
  $E[X]={\int }_{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)dx$
  Onde $f(x)$ é a função de densidade de probabilidade.

2. Aplicação em Modelos Probabilísticos Comuns

Dependendo do contexto da questão de origem, o cálculo direto do valor esperado pode ser simplificado se a variável seguir uma distribuição conhecida:

• Distribuição Binomial ($X\sim \text{Bin}(n,p)$):
  $E[X]=n\cdot p$
  (Exemplo: Se $n=20$ e $p=0,6$, então $E[X]=20\cdot 0,6=12$).

• Distribuição de Poisson ($X\sim \text{Poisson}(\lambda )$):
  $E[X]=\lambda$
  (Exemplo: Se a taxa média de ocorrências $\lambda$ for $12$, então $E[X]=12$).

Como a afirmação é avaliada como Certa (C), os parâmetros fornecidos no problema original levam precisamente ao resultado de $E[X]=12$.