Matemática Question #019f69c5

Para resolver esta questão, devemos analisar as propriedades da Distribuição de Poisson, cuja função de probabilidade é dada por:

$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }\cdot {\lambda }^k}{k!}$

Onde:

• $\lambda$ é a média da distribuição (neste caso, $\lambda =5$);
• $k$ é o número de ocorrências desejado;
• $e$ é a base do logaritmo natural.

O enunciado define $\gamma =P(X=4)$. Vamos calcular esse valor:

$\gamma =P(X=4)=\frac{e^{-5}\cdot 5^4}{4!}=\frac{e^{-5}\cdot 625}{24}$

Agora, calculamos a probabilidade de obtermos exatamente $5$ processos, ou seja, $P(X=5)$:

$P(X=5)=\frac{e^{-5}\cdot 5^5}{5!}=\frac{e^{-5}\cdot 3125}{120}$

Simplificando a fração para $P(X=5)$ dividindo o numerador e o denominador por $5$:

$P(X=5)=\frac{e^{-5}\cdot (3125/5)}{(120/5)}=\frac{e^{-5}\cdot 625}{24}$

Verificamos, portanto, que:

$P(X=5)=P(X=4)=\gamma$

Propriedade Teórica Importante:
Em uma distribuição de Poisson, sempre que a média $\lambda$ for um número inteiro positivo, a distribuição será bimodal, apresentando duas modas (os valores com maior probabilidade de ocorrência): os pontos $\lambda -1$ e $\lambda$. Suas probabilidades individuais serão exatamente iguais:

$P(X=\lambda )=P(X=\lambda -1)$

Logo, a afirmação de que P(X=5) > \gamma está Incorreta (Errada), pois os valores são iguais. A alternativa correta que justifica essa igualdade matemática é a E.