Matemática Question #019f69c5

Para julgar o item, devemos determinar a estimativa da média populacional obtida pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) a partir da amostra fornecida: $\{3,4,3,5,5\}$.

1. O Estimador de MQO para a Média Populacional:
Suponha que tenhamos um modelo simplificado onde queremos estimar a média populacional constante $\mu$ de uma variável $Y$, sem outras variáveis explicativas:
$Y_i=\mu +u_i$
Onde $u_i$ representa o termo de erro aleatório.

O método dos mínimos quadrados ordinários consiste em minimizar a soma dos quadrados dos resíduos ($S$):
$S(\mu )={\sum }_{i=1}^n{u}_i^2={\sum }_{i=1}^n(Y_i-\mu {)}^2$

Para encontrar o valor de $\mu$ que minimiza $S$, derivamos a função em relação a $\mu$ e igualamos a zero (condição de primeira ordem):
$\frac{dS}{d\mu }=-2{\sum }_{i=1}^n(Y_i-\mu )=0$

Dividindo ambos os lados por $-2$:
${\sum }_{i=1}^n(Y_i-\mu )=0$
${\sum }_{i=1}^n{Y}_i-n\mu =0$
${\hat{\mu }}_{MQO}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i=\bar{Y}$

Assim, provamos matematicamente que o estimador de mínimos quadrados ordinários para a média populacional ($\mu$) é a própria média amostral ($\bar{Y}$).

2. Cálculo com os Dados da Amostra:
A amostra fornecida possui tamanho $n=5$ com os valores: $3,4,3,5,5$.
Calculando a média amostral ($\bar{Y}$):
$\bar{Y}=\frac{3+4+3+5+5}{5}=\frac{20}{5}=4$

3. Conclusão:
A estimativa obtida pelo método dos mínimos quadrados ordinários é igual a $4$. Como $4\ge 3,5$, a afirmação de que a estimativa é "igual ou superior a 3,5" está correta (Certo).