Matemática Question #019f69c5

A questão aborda o conceito de Estatística Suficiente na inferência estatística clássica.

Uma estatística $T(X)$ é dita suficiente para um parâmetro $\theta$ se ela contém toda a informação necessária na amostra para estimar $\theta$. Formalmente, pelo Teorema da Fatoração de Fisher-Neyman, uma estatística $T(X)$ é suficiente para $\theta$ se, e somente se, a função de verossimilhança conjunta $f(x;\theta )$ puder ser decomposta na forma:

$f(x;\theta )=g(T(x);\theta )\cdot h(x)$

onde $g$ depende da amostra apenas por meio de $T(x)$, e $h(x)$ é uma função que não depende do parâmetro $\theta$.

O item afirma, de forma genérica, que "a média amostral é uma estatística suficiente para a estimação do parâmetro $\beta$". Essa afirmação é incorporreta (Errada) pelos seguintes motivos teóricos:

1. Dependência da Distribuição: A suficiência de uma estatística depende fundamentalmente da distribuição de probabilidade da população da qual a amostra foi extraída. Sem especificar qual é a distribuição, não se pode generalizar que a média amostral ($\bar{X}$) é uma estatística suficiente.
2. Contraexemplos Clássicos:
   • Se a amostra provém de uma distribuição Uniforme no intervalo $(0,\beta )$, a estatística suficiente para $\beta$ é o máximo amostral ($X_{(n)}$), e não a média amostral.
   • Se a amostra provém de uma distribuição Pareto com parâmetro de escala $\beta$, a estatística suficiente envolve o mínimo amostral ($X_{(1)}$).
   • Se a amostra provém de uma distribuição Cauchy com parâmetro de locação $\beta$, não existe estatística suficiente de dimensão menor que a própria amostra completa.

Portanto, por não ser uma propriedade universal e depender estritamente do modelo probabilístico adotado, o item está Errado (Gabarito oficial: E, mapeado para a alternativa B).