Matemática Question #019f69c5

Para determinar o conjunto $P$, que é a união infinita dos conjuntos $P_n=\left[\frac{1}{n},1\right]$ para $n\ge 1$, devemos analisar quais elementos pertencem a essa união.

A união infinita é definida como:
$P={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{P}_n=\{x\in \mathbb{R}\mid \exists n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ tal que }x\in P_n\}$

Isso significa que um número real $x$ pertence a $P$ se, e somente se, ele pertencer a pelo menos um dos intervalos $P_n$.

Vamos analisar os primeiros termos dessa sequência de conjuntos:

• Para $n=1$: $P_1=[1,1]=\{1\}$
• Para $n=2$: $P_2=\left[\frac{1}{2},1\right]$
• Para $n=3$: $P_3=\left[\frac{1}{3},1\right]$
• Para um $n$ genérico: $P_n=\left[\frac{1}{n},1\right]$

Observe que os intervalos são crescentes em relação à inclusão de conjuntos:
$P_1\subset P_2\subset P_3\subset \cdots \subset P_n\subset \dots$

À medida que $n$ cresce, o limite inferior do intervalo, $\frac{1}{n}$, aproxima-se de $0$ pela direita, mas nunca atinge o valor $0$ para nenhum valor natural de $n$.

• O número $0$ pertence a $P$?
  Para que $0\in P$, deveria existir algum $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tal que $0\in \left[\frac{1}{n},1\right]$. Como \frac{1}{n} > 0 para todo $n\ge 1$, temos que $0\notin \left[\frac{1}{n},1\right]$ para qualquer $n$. Portanto, $0$ não pertence a $P$, o que indica que o extremo esquerdo do intervalo deve ser aberto: $(0,\dots$.

• Qualquer valor real $x$ tal que 0 < x \le 1 pertence a $P$?
  Sim. Pela Propriedade Arquimediana dos números reais, para qualquer número real positivo x > 0, existe um número natural $n$ suficientemente grande tal que:
  \frac{1}{n} < x
  Como também temos $x\le 1$, conclui-se que $x\in \left[\frac{1}{n},1\right]=P_n$. Como $x$ pertence a pelo menos um dos conjuntos da família, ele pertence à união $P$.

Unindo todos os elementos possíveis, obtemos o intervalo semiaberto:
$P=(0,1]$

Portanto, a alternativa correta é a C.