Matemática Question #019f69c7

A questão exige o conhecimento das propriedades da Esperança Condicional.

Queremos analisar a seguinte igualdade:
$E[X+Y\mid X=1/2]=1/2+1/2$

Para resolver isso, utilizamos a propriedade da linearidade da esperança condicional:
$E[X+Y\mid X=x]=E[X\mid X=x]+E[Y\mid X=x]$

Substituindo $x=1/2$:
$E[X+Y\mid X=1/2]=E[X\mid X=1/2]+E[Y\mid X=1/2]$

Agora, analisamos cada um dos termos do lado direito:

1. Primeiro Termo ($E[X\mid X=1/2]$):
   Dado que estamos condicionando no evento em que $X$ assume exatamente o valor $1/2$, a variável $X$ comporta-se como uma constante determinística igual a $1/2$. Portanto:
   $E[X\mid X=1/2]=1/2$

2. Segundo Termo ($E[Y\mid X=1/2]$):
   Este termo representa a esperança da variável $Y$ dado que $X=1/2$. Sob a hipótese usual de que as variáveis $X$ e $Y$ são independentes e que $Y$ possui distribuição uniforme no intervalo $[0,1]$ (ou cuja média seja $1/2$), temos que a informação sobre $X$ não altera a distribuição de $Y$. Logo:
   $E[Y\mid X=1/2]=E[Y]=1/2$

Substituindo os valores encontrados de volta na equação de linearidade, obtemos:
$E[X+Y\mid X=1/2]=1/2+1/2$

Portanto, a igualdade apresentada está correta.

Gabarito: C (Certo).