Matemática Question #019f69c7

A suficiência de uma estatística depende fundamentalmente da distribuição de probabilidade da população da qual a amostra foi extraída. Dizer, de forma genérica e sem especificar a distribuição, que "a média amostral é uma estatística suficiente para a estimação do parâmetro $\beta$" é incorreto.

Por exemplo:

1. Distribuição Uniforme $U(0,\beta )$: Se os dados seguem uma distribuição uniforme no intervalo $[0,\beta ]$, a estatística suficiente para $\beta$ é o máximo amostral ($X_{(n)}$), e não a média amostral ($\bar{X}$).
2. Distribuição Beta $Beta(\alpha ,\beta )$: Para a distribuição Beta, as estatísticas suficientes envolvem os produtórios dos dados (ou somatórios dos logaritmos), não a média amostral simples.

Pelo Teorema de Fatoração de Fisher-Neyman, uma estatística $T(X)$ é suficiente para um parâmetro $\theta$ se, e somente se, a densidade conjunta da amostra puder ser fatorada como:
$f(x_1,\dots ,x_n;\theta )=g(T(x);\theta )\cdot h(x_1,\dots ,x_n)$

Como a suficiência não é uma propriedade universal da média amostral para qualquer parâmetro denominado $\beta$, a afirmação está errada.